Funzione gamma

[fede.unive]

Salve a tutti,
mi sono imbattutto in delle quantità che coinvolgono la funzione gamma. Non sono molto pratico, ma mi chiedevo se esistesse quale proprietà che, magari, poteva rendere più "elegante" l'espressione.
In particolare qualcuno è in grado di spiegarmi/mostrarmi come si passa dal membro di sinistra a quello di destra ?

$\int_0^{+oo} [(1+x)^{H-1/2}-x^{H-1/2}]^2 \text{d} x + 1/{2H} ={\Gamma(2H+1) \cdot sin(\pi H)}/{\Gamma(H+1/2) \cdot \Gamma(H+1/2)}$

E' inoltre possibile che tale quantità sia uguale a $\Gamma(H+1/2) \cdot \Gamma(H+1/2)$ (ossia che $\Gamma(2H+1) \cdot sin(\pi H) = [\Gamma(H+1/2) \cdot \Gamma(H+1/2)]^2$)?

Preciso che $H \in RR : 0
Grazie in anticipo a tutti coloro volessero intervenire

[gugo82]

Prova ad usare:
\[
\begin{split}
\Gamma (z)\ \Gamma (1-z) &= \frac{\pi}{\sin (\pi z)} & &\text{(formula di riflessione)}\\
\Gamma (z)\ \Gamma (z+1/2) &= 2^{1-2z}\ \sqrt{\pi}\ \Gamma (2z) & &\text{(formula di duplicazione)}
\end{split}
\]
in qualche modo... Può darsi che riesci a semplificare qualcosa.

[fede.unive]

Grazie mille per il consiglio.