Funzione differenziabile
Salve! Volevo fare questo esercizio insieme a voi per evidenziare, se presenti, gli errori.
Determinare gli insiemi di continuità, derivabilità e differenziabilità della
seguente funzione in due variabili:
$f(x,y)={(frac{xy}{sqrt(x^2 + y^2)},if (x,y)!=0),(0,if (x,y)=(0,0)):}$
Per vedere se la funzione è continua faccio il limite per $(x,y)->(0,0)$, trasformando in coordinate polari.
$x = rho cos(theta)$
$y=rho sen (theta)$
$lim_(rho->0) f(rho*cos(theta),rho*sen(theta)) = 0$
quindi si deduce che $f(x,y)$ è continua in tutto $RR^2$.
Ora vediamo se la funzione ammette derivate prime parziali continue.
$f'_x = frac{-y*2x}{2*root(3)(x^2 + y^2)}$
$f'_y = frac{-x*2y}{2*root(3)(x^2 + y^2)}$
$lim_(rho->0) f'_x = frac{-2rho^2 *cos(theta) * sen(theta)}{2*root(3)(rho^2)} =\nexists$
$lim_(rho->0) f'_y = \nexists$
Quindi siccome le derivate parziali prime non sono continue nel punto$(0,0)$, si deduce che $f(x,y)$ non è ivi differenziabile.
Ho svolto l'esercizio correttamente?
Determinare gli insiemi di continuità, derivabilità e differenziabilità della
seguente funzione in due variabili:
$f(x,y)={(frac{xy}{sqrt(x^2 + y^2)},if (x,y)!=0),(0,if (x,y)=(0,0)):}$
Per vedere se la funzione è continua faccio il limite per $(x,y)->(0,0)$, trasformando in coordinate polari.
$x = rho cos(theta)$
$y=rho sen (theta)$
$lim_(rho->0) f(rho*cos(theta),rho*sen(theta)) = 0$
quindi si deduce che $f(x,y)$ è continua in tutto $RR^2$.
Ora vediamo se la funzione ammette derivate prime parziali continue.
$f'_x = frac{-y*2x}{2*root(3)(x^2 + y^2)}$
$f'_y = frac{-x*2y}{2*root(3)(x^2 + y^2)}$
$lim_(rho->0) f'_x = frac{-2rho^2 *cos(theta) * sen(theta)}{2*root(3)(rho^2)} =\nexists$
$lim_(rho->0) f'_y = \nexists$
Quindi siccome le derivate parziali prime non sono continue nel punto$(0,0)$, si deduce che $f(x,y)$ non è ivi differenziabile.
Ho svolto l'esercizio correttamente?
Risposte
No: poiché le derivate parziali di [tex]$f$[/tex] non esistono in [tex]$(0;0)$[/tex] ivi non è differenziabile!
Poverino, a me sembra corretto...qual è la differenza tra quello che ha detto lui e quello che hai detto tu? 
E' un po' una sottigliezza all'atto pratico, ma j18eos ha ragione (conti permettendo - io non li ho fatti). Una funzione può essere derivabile e non avere le derivate continue; ci sono anche funzioni differenziabili che non hanno le derivate continue.
Quindi quello che qwerty ha dimostrato è: $f$ non è una funzione di classe $C^1$, ma non ha dimostrato che non è differenziabile.
Quindi quello che qwerty ha dimostrato è: $f$ non è una funzione di classe $C^1$, ma non ha dimostrato che non è differenziabile.
"dissonance":
Quindi quello che qwerty ha dimostrato è: $f$ non è una funzione di classe $C^1$, ma non ha dimostrato che non è differenziabile.
E quindi per completare cosa dovrei fare?
Un altro limite? O dovevo solo dire :
"Dal momento che le derivate parziali non esistono (e non "non sono continue" come ho scritto precedentemente" in $(0,0)$ allora $f(x,y)$ non è ivi differenziabile
@qwerty90: Volendo utilizzare la definizione di differenziabilità per determinare la medesima di [tex]$f$[/tex]in [tex]$(0;0)$[/tex], poiché non esistono ivi le derivate parziali, essa non è verificata; quindi l'asserto!
Per non creare danni ecco la definizione di differenziabilità in un punto generico [tex]$\underline y=(y_i)_{i\in\{1\hdots n\}}\in\mathbb{R}^n$[/tex] per una funzione [tex]$\phi:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$[/tex]; essa sarebbe ivi differenziabile se e solo se [tex]$\lim_{||\underline h||\to\undeline0}\frac{\phi(\underline y+\underline h)-\phi(\underline y)-\sum_{i=1}^nh_i\phi_{x_i}(\underline y)}{||\underline h||}=0$[/tex]; ove [tex]$\underline h=(h_i)_{i\in\{1\hdots n\}}\in\mathbb{R}^n$[/tex]. Nel caso di [tex]$f$[/tex] in [tex]$(0;0)$[/tex] tale limite non esiste.
@antani: Consiglio anche a te questo link!
Per non creare danni ecco la definizione di differenziabilità in un punto generico [tex]$\underline y=(y_i)_{i\in\{1\hdots n\}}\in\mathbb{R}^n$[/tex] per una funzione [tex]$\phi:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$[/tex]; essa sarebbe ivi differenziabile se e solo se [tex]$\lim_{||\underline h||\to\undeline0}\frac{\phi(\underline y+\underline h)-\phi(\underline y)-\sum_{i=1}^nh_i\phi_{x_i}(\underline y)}{||\underline h||}=0$[/tex]; ove [tex]$\underline h=(h_i)_{i\in\{1\hdots n\}}\in\mathbb{R}^n$[/tex]. Nel caso di [tex]$f$[/tex] in [tex]$(0;0)$[/tex] tale limite non esiste.
@antani: Consiglio anche a te questo link!
"j18eos":Beh no j18eos adesso non sono più d'accordo con te. "Non puoi utilizzare la definizione" è un errore: si può sempre verificare la differenziabilità direttamente mediante la definzione, e se questo test passa la funzione è automaticamente anche derivabile.
@qwerty90: Non puoi utilizzare la definizione di differenziabilità in [tex]$(0;0)$[/tex] in quanto non esistono ivi le derivate parziali quindi l'asserto!
@qwerty: Verifica se esistono le derivate parziali nell'origine. Hai mai fatto esercizi tipo "controlla se la seguente funzione è derivabile" in Analisi 1? Qui è esattamente la stessa cosa.
scusa dissonans, volevo chiederti, se una derivata in un punto non esiste significa o che è infinita (almeno una delle due tra destra e sinistra), o che il lim destro è diverso dal lim sinistro, ossia non è continua...no?
PS tra l'altro tutto sto casino e poi a me sembra che invece nell'origine in quella funzione le derivate parziali esistano e siano 0...
@dissonance: Infatti ho bestemmiato. 
Correggo!
Correggo!
"dissonance":
@qwerty: Verifica se esistono le derivate parziali nell'origine. Hai mai fatto esercizi tipo "controlla se la seguente funzione è derivabile" in Analisi 1? Qui è esattamente la stessa cosa.
Devo fare il limite del rapporto incrementale in questo modo?
data
$Deltaf=f(x_0 + Deltax, y_0 + Deltay) - f(x_0,y_0)
e la funzione
$sigma = Deltaf - [f'_x(x_0,y_0)*Deltax + f'_(y)(x_0,y_0)*Deltay]$
infinitesima di ordine superiore rispetto a $sqrt((Deltax)^2 + (Deltay)^2)$
se risulta:
$lim_(Deltax,Deltay ->0) (frac{sigma}{sqrt((Deltax)^2 + (Deltay)^2)} )= 0$
allora si può dire che è differenziabile?
@j18eos: ti ringrazio..
"antani":No. La derivata può esistere e non essere continua. Ne abbiamo parlato tante volte, una è questa:
scusa dissonans, volevo chiederti, se una derivata in un punto non esiste significa o che è infinita (almeno una delle due tra destra e sinistra), o che il lim destro è diverso dal lim sinistro, ossia non è continua...no?
https://www.matematicamente.it/forum/dir ... 53021.html
@qwerty90: Prego di nulla! Spero che quella mia bestemmia non t'abbia influenzato; ma leggo che la rettifica ti sia entrata nel sangue. 
Spero che quella mia bestemmia non t'abbia influenzato; ma leggo che la rettifica ti sia entrata nel sangue.
Ah grazie dissonans che figo l'esempio postato da gugo!! In effetti vedi cosa si impara a frequentre i forum dei matematici, ai fisici ste cose mica le marcano più di tanto 
Cmq h oragione nel dire che la funzione postata a inizio topic da non mi ricordo chi ha derivate parziali esistenti e nulle nell'origine, al contrario di quanto si diceva? O devo cambiare spacciatore
?
Cmq h oragione nel dire che la funzione postata a inizio topic da non mi ricordo chi ha derivate parziali esistenti e nulle nell'origine, al contrario di quanto si diceva? O devo cambiare spacciatore
?
"antani":
Ah grazie dissonans che figo l'esempio postato da gugo!! In effetti vedi cosa si impara a frequentre i forum dei matematici, ai fisici ste cose mica le marcano più di tanto
Cmq h oragione nel dire che la funzione postata a inizio topic da non mi ricordo chi ha derivate parziali esistenti e nulle nell'origine, al contrario di quanto si diceva? O devo cambiare spacciatore
Ehi ehi non provare a dubitare dei miei calcoli!
In ogni caso voglio riportare un teorema(che ho seguito nella pag.1) per il quale non credo sia necessario fare quello che dicono dissonance e j18eos...
Teorema (condizione sufficiente):
Se la funzione f(x,y) definita in un sottoinsieme aperto A di $RR^2$ è ivi dotata di derivate parziali prime continue, essa è differenziabile in ogni punto di A.
E ho svolto l'esercizio seguendo questo teorema, in particolare ho fatto vedere che dal momento che i limiti delle derivate parziali non esistono, ciò implica allora che non sono continue e quindi differenziabili.
Detto ciò, questo metodo o quello di fare il limite del rapporto incrementale deve dare lo stesso risultato.
Ho detto qualcosa di sbagliato?? grazie
"qwerty90":La continuità delle derivate parziali in un punto è una condizione sufficiente ma non necessaria per la differenziabilità di una data funzione nel suddetto punto!
...Teorema (condizione sufficiente):
Se la funzione f(x,y) definita in un sottoinsieme aperto A di $RR^2$ è ivi dotata di derivate parziali prime continue, essa è differenziabile in ogni punto di A.
E ho svolto l'esercizio seguendo questo teorema, in particolare ho fatto vedere che dal momento che i limiti delle derivate parziali non esistono, ciò implica allora che non sono continue e quindi differenziabili...
"j18eos":
La continuità delle derivate parziali in un punto è una condizione sufficiente ma non necessaria per la differenziabilità di una data funzione nel suddetto punto!
E dire che è sufficiente non basta per dimostrare la tesi?
Tu ha che le derivate parziali non esistono, quindi non sono continue. (punto) Non hai verificato le ipotesi del teorema citato e quindi non lo puoi utilizzare, ovvero: non puoi dire che sia differenziabile mediante esso teorema!
Non resta che utilizzare la definizione come ti ho mostrato in precedenza e vedere "a mano" la sussistenza o meno della differenziabilità!
Non resta che utilizzare la definizione come ti ho mostrato in precedenza e vedere "a mano" la sussistenza o meno della differenziabilità!
"j18eos":
Tu ha che le derivate parziali non esistono, quindi non sono continue. (punto) Non hai verificato le ipotesi del teorema citato e quindi non lo puoi utilizzare, ovvero: non puoi dire che sia differenziabile mediante esso teorema!
Non resta che utilizzare la definizione come ti ho mostrato in precedenza e vedere "a mano" la sussistenza o meno della differenziabilità!
Quindi, in poche parole, non si può usare quel teorema per la negazione, ma devo verificare con il limite del rapporto incrementale, esatto?
Sì, esatto!
qwerty, vatti a ripassare il significato di "condizione necessaria" e di "condizione sufficiente".
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