Funzione differenziabile

[qwerty901]

Salve! Volevo fare questo esercizio insieme a voi per evidenziare, se presenti, gli errori.
Determinare gli insiemi di continuità, derivabilità e differenziabilità della
seguente funzione in due variabili:

$f(x,y)={(frac{xy}{sqrt(x^2 + y^2)},if (x,y)!=0),(0,if (x,y)=(0,0)):}$

Per vedere se la funzione è continua faccio il limite per $(x,y)->(0,0)$, trasformando in coordinate polari.
$x = rho cos(theta)$
$y=rho sen (theta)$

$lim_(rho->0) f(rho*cos(theta),rho*sen(theta)) = 0$

quindi si deduce che $f(x,y)$ è continua in tutto $RR^2$.
Ora vediamo se la funzione ammette derivate prime parziali continue.

$f'_x = frac{-y*2x}{2*root(3)(x^2 + y^2)}$
$f'_y = frac{-x*2y}{2*root(3)(x^2 + y^2)}$
$lim_(rho->0) f'_x = frac{-2rho^2 *cos(theta) * sen(theta)}{2*root(3)(rho^2)} =\nexists$
$lim_(rho->0) f'_y = \nexists$

Quindi siccome le derivate parziali prime non sono continue nel punto$(0,0)$, si deduce che $f(x,y)$ non è ivi differenziabile.

Ho svolto l'esercizio correttamente?

[antani2]

@Querty.
Mi permetto di insistere...
$(partialf)/(partialx)|_((x;y)=(0;0)) = lim_(h->0)(f(h,0)-f(0,0))/(h)=lim_(h->0)((0/h)-0)/h=0$

Analogamente per la y, del resto la funzione è simmetrica per scambio di coordinate...

[qwerty901]

"j18eos":Sì, esatto!

grazie

"dissonance":qwerty, vatti a ripassare il significato di "condizione necessaria" e di "condizione sufficiente".

Ok ...fatto

"antani":@Querty.
Mi permetto di insistere...
$(partialf)/(partialx)|_((x;y)=(0;0)) = lim_(h->0)(f(h,0)-f(0,0))/(h)=lim_(h->0)((0/h)-0)/h=0$

Analogamente per la y, del resto la funzione è simmetrica per scambio di coordinate...

scusami ma ...
$f'_x = frac{-y*2x}{2*root(3)(x^2 + y^2)}$
$f'_y = frac{-x*2y}{2*root(3)(x^2 + y^2)}$

fai il limite trasformando in coordinate polari...
$x=rho*cos(theta)$
$y= rho*sen(theta)$

ti accorgi che viene :
$lim_(rho->0) f'_x = frac{-2rho^2 *cos(theta) * sen(theta)}{2*root(3)(rho^2)} =\nexists$

idem per $lim_(rho->0) f'_y$

ma poi a te non viene un limite con forma indeterminata $0/0$??
come fai a dire che viene $0$?

[antani2]

Ma dove la vedi la forma intederminata? e poi perchè dici che i tuoi limiti non esistono?

[Camillo]

Perchè $nexists lim_(rho rarr 0 ) f'_x $ ? Non ho verificato se la derivata parziale è corretta...

[qwerty901]

"antani":Ma dove la vedi la forma intederminata? e poi perchè dici che i tuoi limiti non esistono?

"Camillo":Perchè $nexists lim_(rho rarr 0 ) f'_x $ ?

Si scusate, esiste e fa 0.
Chiedo perdono

[antani2]

Ecco vedi se lo dice Camillo...!

[Camillo]

Comunque la derivata non è corretta, al denominatore ci deve essere $ (x^2+y^2)^(3/2) $

[qwerty901]

"Camillo":Comunque la derivata non è corretta, al denominatore ci deve essere $ (x^2+y^2)^(3/2) $

Sisi...sono stato troppo superficiale con i calcoli...scusate ancora
Per lo meno ho capito la teoria che ci sta dietro..

[j18eos]

@qwerty90: Vorrei sottolineare che i conti non te li ho controllati in quanto (oltre ad esservi allergico) poiché non avevo il tempo. Di questo chiedo scusa!

[antani2]

Sì ma comunque usare la definizione come ho fatto io era molto più semplice che fare le derivate che viene una cosa schifosa perchè hai anche la derivata di un rapporto!