Funzione di Lambert
Ciao a tutti,
mi sono imbattuto in questa funzione qui:
$ y = arctan(x * 2^x) $ con dominio $ D [ 0 , +infty) $
Provando a calcolarne l'inversa nel dominio, ho girato e rigirato la frittata ma non sono riuscito ad isolarne la x.
Cercando un pò su internet, ho scoperto che potrebbe essere una funzione di Lambert.
Qualcuno potrebbe spiegarmi gentilmente la situazione ed eventualmente darmi una soluzione al dilemma? Non ne avevo mai sentito parlare
grazie mille!
mi sono imbattuto in questa funzione qui:
$ y = arctan(x * 2^x) $ con dominio $ D [ 0 , +infty) $
Provando a calcolarne l'inversa nel dominio, ho girato e rigirato la frittata ma non sono riuscito ad isolarne la x.
Cercando un pò su internet, ho scoperto che potrebbe essere una funzione di Lambert.
Qualcuno potrebbe spiegarmi gentilmente la situazione ed eventualmente darmi una soluzione al dilemma? Non ne avevo mai sentito parlare
grazie mille!
Risposte
La situazione è che la funzione inversa che ti interessa non la si può ricavare "a mano", poiché non è esprimibile mediante una formula elementare.
Quindi, sei sicuro che ti serva avere a disposizione una formula chiusa per la funzione inversa?
Non puoi farne a meno per continuare ciò che stai facendo?
Quindi, sei sicuro che ti serva avere a disposizione una formula chiusa per la funzione inversa?
Non puoi farne a meno per continuare ciò che stai facendo?
Grazie per la risposta 
In un esercizio mi richiedono prima di verificare se è invertibile nel dominio ed in secondo luogo di calcolare la derivata dell'inversa nel punto x = 2
In un esercizio mi richiedono prima di verificare se è invertibile nel dominio ed in secondo luogo di calcolare la derivata dell'inversa nel punto x = 2
Allora l'espressione della funzione inversa non ti serve a nulla... Perché?
Ma per verificare l'invertibilità non devo imporre che sia biiettiva?
Ad esempio nella suriettività ho che $f(x) = y$ , in qualche modo dovrò pur invertirla per risolvere l'equazione
Ad esempio nella suriettività ho che $f(x) = y$ , in qualche modo dovrò pur invertirla per risolvere l'equazione
La funzione assegnata è biiettiva, poiché strettamente crescente in \([0,+\infty[\) (è composta da funzioni strettamente crescenti!).
D'altra parte, essendo:
\[
\begin{split}
f(0) &= 0\\
\lim_{x\to +\infty} f(x) &= \frac{\pi}{2}
\end{split}
\]
l'immagine di $f$ è l'intervallo semiaperto \([0,\pi/2[\). Conseguentemente, l'equazione:
\[
y=\arctan (x2^x)
\]
ha un'unica soluzione in \(x_y\in [0,+\infty[\) per ogni \(y\in [0,\pi/2[\) e si può istituire la funzione inversa di \(f\) ponendo:
\[
f^{-1}(y) := x_y
\]
per ogni \(y\in [0,\pi/2[\).
Il teorema di derivabilità della funzione inversa assicura che \(f^{-1}\) è derivabile nei punti \(y\in [0,\pi/2[\) tali che \(f\) è derivabile in \(f^{-1}(y)\) e si ha \(f^\prime (f^{-1}(y))\neq 0\) e che, in tal caso, si ha:
\[
(f^{-1})^\prime (y) = \frac{1}{f^\prime (f^{-1}(y))}\; .
\]
Nel tuo caso, detto \(\bar{y}\) l'unico punto tale che \(f^{-1}(\bar{y}) = 2\), abbiamo:
\[
\bar{y} = f(2) = \arctan (2\cdot 2^2)=\arctan 8
\]
sicché:
\[
(f^{-1})^\prime (\arctan 8) = \frac{1}{f^\prime (2)}\; .
\]
Perciò per conoscere la derivata di \(f^{-1}\) in \(\bar{y}=\arctan 8\) ti basta calcolare il reciproco della derivata di \(f\) in \(2\) e, come ti avevo detto, conoscere esplicitamente l'espressione analitica di \(f^{-1}\) non ti serve a nulla.
D'altra parte, essendo:
\[
\begin{split}
f(0) &= 0\\
\lim_{x\to +\infty} f(x) &= \frac{\pi}{2}
\end{split}
\]
l'immagine di $f$ è l'intervallo semiaperto \([0,\pi/2[\). Conseguentemente, l'equazione:
\[
y=\arctan (x2^x)
\]
ha un'unica soluzione in \(x_y\in [0,+\infty[\) per ogni \(y\in [0,\pi/2[\) e si può istituire la funzione inversa di \(f\) ponendo:
\[
f^{-1}(y) := x_y
\]
per ogni \(y\in [0,\pi/2[\).
Il teorema di derivabilità della funzione inversa assicura che \(f^{-1}\) è derivabile nei punti \(y\in [0,\pi/2[\) tali che \(f\) è derivabile in \(f^{-1}(y)\) e si ha \(f^\prime (f^{-1}(y))\neq 0\) e che, in tal caso, si ha:
\[
(f^{-1})^\prime (y) = \frac{1}{f^\prime (f^{-1}(y))}\; .
\]
Nel tuo caso, detto \(\bar{y}\) l'unico punto tale che \(f^{-1}(\bar{y}) = 2\), abbiamo:
\[
\bar{y} = f(2) = \arctan (2\cdot 2^2)=\arctan 8
\]
sicché:
\[
(f^{-1})^\prime (\arctan 8) = \frac{1}{f^\prime (2)}\; .
\]
Perciò per conoscere la derivata di \(f^{-1}\) in \(\bar{y}=\arctan 8\) ti basta calcolare il reciproco della derivata di \(f\) in \(2\) e, come ti avevo detto, conoscere esplicitamente l'espressione analitica di \(f^{-1}\) non ti serve a nulla.
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