Funzione di Heaviside (gradino)

[keccogrin-votailprof]

Ciao, l'esercizio che non riesco a dimostrare è questo:
Provare che la funzione di Heaviside (o funzione gradino) definita da \(\displaystyle H(x)=
\begin{cases}
1 & \text{se}\ x > 0\\
0 & \text{se}\ x \leq 0
\end{cases} \) non è uguale quasi ovunque in \(\displaystyle \mathbb{R} \) ad una funzione continua.

Si capisce che bisogna far vedere che una tale funzione continua \(\displaystyle f(x) \) avrebbe dei problemi in corrispondenza di \(\displaystyle x = 0 \), perché lì avrebbe una discontinuità di tipo salto. Ma cosa posso dire sui limiti destro e sinistro di \(\displaystyle f \) ? Perché sono obbligati ad essere \(\displaystyle 1 \) e \(\displaystyle 0 \)?
Temo che mi sfugga un risultato importante sul quale chiedo il vostro parere: una funzione continua, che sia uguale q. o. a una funzione costante, è costante? Perché?
Grazie in anticipo per le risposte,
Ciao

[Sk_Anonymous]

Forse non sto capendo, ma quella funzione è continua quasi ovunque: l'insieme dei suoi punti di discontinuità è un singoletto che ha misura (di Lebesgue!) nulla.

[Rigel1]

"EdmondDantès":una funzione continua, che sia uguale q. o. a una funzione costante, è costante? Perché?

Supponiamo che \(f\colon I \to\mathbb{R}\) sia una funzione continua in un intervallo \(I\subseteq\mathbb{R}\), tale che \(f(x) = c\) per quasi ogni \(x\in I\).
Supponiamo per assurdo che esista \(x_0\in I\) tale che \(f(x_0)\neq c\); per fissare le idee, supponiamo \(f(x_0) > c\).
Per definizione di continuità esiste \(\delta > 0\) tale \(f(x) > c\) per ogni \(x\in I_{\delta}:=(x_0-\delta, x_0+\delta)\cap I\); ma ciò conduce ad un assurdo dal momento che la misura di \(I_{\delta}\) è positiva.

[Sk_Anonymous]

@Rigel: sempre ammesso (ma credo sia così) che intendesse continua e non continua quasi ovunque.

[keccogrin-votailprof]

@Rigel: Grazie mille. Ora capisco perché una eventuale \(\displaystyle f \) continua dovrebbe essere obbligatoriamente costante per \(\displaystyle x>0 \) con valore \(\displaystyle 1 \) e costante per \(\displaystyle x<0 \) con valore \(\displaystyle 0 \)... da cui la discontinuità di tipo salto.

@Delirium: Sì, era un esempio di funzione continua q.o., ma tale che non esiste nessuna funzione continua che sia uguale q.o. ad essa.