Funzione di due variabili
Mi è data la seguente funzione di due variambili e devo trovare i valori di L e C che la minimizzano!
$ I=(-40+(100*C)/(1-L*c))^2 + (-0.4+(100*C)/(1-121*L*c))^2 $
Stando alla teoria per individuare i punti critici bisognerebbe risolvere il seguente sistema:
$ (dI)/(dC)=0 $
$ (dI)/(dL)=0 $
Il problema stà nel fatto che il sistema risultante è non lineare e duqnue andrebbe risolto in modo iterativo o sbaglio?
Se si: la soluzione del sistema non dipenderebbe dunque dal punto assunto come partenza per il metodo iterativo?
Se si: chi mi assicura che le soluzioni che trovo siano punti di minimo della funzione (dato che sono questi ultimi che mi interessano)?
Ringrazio anticipatamente per eventuali risposte sperando di essere stato sufficientemente chiaro
$ I=(-40+(100*C)/(1-L*c))^2 + (-0.4+(100*C)/(1-121*L*c))^2 $
Stando alla teoria per individuare i punti critici bisognerebbe risolvere il seguente sistema:
$ (dI)/(dC)=0 $
$ (dI)/(dL)=0 $
Il problema stà nel fatto che il sistema risultante è non lineare e duqnue andrebbe risolto in modo iterativo o sbaglio?
Se si: la soluzione del sistema non dipenderebbe dunque dal punto assunto come partenza per il metodo iterativo?
Se si: chi mi assicura che le soluzioni che trovo siano punti di minimo della funzione (dato che sono questi ultimi che mi interessano)?
Ringrazio anticipatamente per eventuali risposte sperando di essere stato sufficientemente chiaro
Risposte
Se stai studiando un circuito (come sembra possa essere) ti ricordo che i valori di induttanza e di capacità devono essere positivi. Quindi la ricerca dei minimi è soggetta a dei vincoli. Esistono diversi metodi per calcolare i massimi e minimi di una funzione di due variabili. Il calcolo dell'hessiano ti permette di stabilire se i punti ricercati sono di massimo o di minimo (qui trovi un sunto dei possibili casi con qualche esercizio).
L'altro metodo, utile nel caso in cui siano presenti dei vincoli, è quello dei moltiplicatori di Lagrange. Ad ogni modo non è detto che sia così semplice risolvere il sistema di annullamento delle derivate parziali. In elettronica, mi è capitato di determinare dei punti di minimo con exel o matlab, quindi per via numerica.
L'altro metodo, utile nel caso in cui siano presenti dei vincoli, è quello dei moltiplicatori di Lagrange. Ad ogni modo non è detto che sia così semplice risolvere il sistema di annullamento delle derivate parziali. In elettronica, mi è capitato di determinare dei punti di minimo con exel o matlab, quindi per via numerica.
Si è un circuito elettrico!
Ma il metodo dei moltiplicatori di Lagrange non si utilizza nel caso in cui vi siano vincoli di uguaglianza?
In questo caso i vincoli da imporre sarebbero di disuguaglianza:
$L>0$
$C>0$
E se non erro i vincoli di disuguaglianza devono contenere il segno di uguale quindi bisognerebbe porli come:
$L>=Lmin$
$C>=Cmin$
Dove con Cmin e lmin potrei indicare condensatori e induttanze realizzabili nella pratica!
Sull'Hessiano ci sono!
Il problema è che risolvendo il sistema non lineare sopra riportato per via numerica la soluzione a cui si perviene dipende dai valori di partenza e duque la soluzione che si trova utilizzando poi l'hessiano potrebbe non essere un minimo o potrebbe esserlo ma non essere assoluto o sbaglio?
In altre parole mi stai dicendo che l'unico modo per trovare il minimo di una funzione così fatta è con un algoritmo matlab che proceda iterativamente alla ricerca del minimo?
Grazie mille della risposta!
Ma il metodo dei moltiplicatori di Lagrange non si utilizza nel caso in cui vi siano vincoli di uguaglianza?
In questo caso i vincoli da imporre sarebbero di disuguaglianza:
$L>0$
$C>0$
E se non erro i vincoli di disuguaglianza devono contenere il segno di uguale quindi bisognerebbe porli come:
$L>=Lmin$
$C>=Cmin$
Dove con Cmin e lmin potrei indicare condensatori e induttanze realizzabili nella pratica!
Sull'Hessiano ci sono!
Il problema è che risolvendo il sistema non lineare sopra riportato per via numerica la soluzione a cui si perviene dipende dai valori di partenza e duque la soluzione che si trova utilizzando poi l'hessiano potrebbe non essere un minimo o potrebbe esserlo ma non essere assoluto o sbaglio?
In altre parole mi stai dicendo che l'unico modo per trovare il minimo di una funzione così fatta è con un algoritmo matlab che proceda iterativamente alla ricerca del minimo?
Grazie mille della risposta!
Non ho provato a fare i conti, ma mi sembrano alquanto ostici. Direi che il miglior modo per determinare i punti di minimo è quello di farlo per via numerica, utilizzando ad esempio matlab o excel. E' comunque difficile che tu riesca ad ottenere una soluzione ottimale per entrambi. E' più probabile (come capitava a me nel dimensionamento di un convertitore dc-dc) un compromesso a seconda di ciò che vuoi ottenere.
P.S. a questo punto l'argomento diventa ingegneristico quindi la sezione più adatta sarebbe Ingegneria.
P.S. a questo punto l'argomento diventa ingegneristico quindi la sezione più adatta sarebbe Ingegneria.
Eh si l'avevo postato qui in quanto il mio problema era di capire a livello matematico come gestire la cosa!
Ti ringrazio dell'aiuto...ora provo un pò a vedere cosa riesco a ricavare da Matlab!
Ti ringrazio dell'aiuto...ora provo un pò a vedere cosa riesco a ricavare da Matlab!
