Funzione di dirichlet
Buon pomeriggio è il mio primo messaggio in questo forum 
.
Sicuramente questa domanda è stata posta molte volte scusate la banalità.
La funzione definita così :
$={((1 "se x" in [0,1] nn Q) ),((0 "se x" in [0,1] "\"Q)) ,( 0 "altrove"):}$
devo dimostrare che non è integrabile secondo Reiman in tutto $RR$.
Ora dimostrarlo in [0,1] è abbastanza semplice il mio problema è dimostrarlo altrove quindi quando non stiamo in [0,1]..
.Sicuramente questa domanda è stata posta molte volte scusate la banalità.
La funzione definita così :
$={((1 "se x" in [0,1] nn Q) ),((0 "se x" in [0,1] "\"Q)) ,( 0 "altrove"):}$
devo dimostrare che non è integrabile secondo Reiman in tutto $RR$.
Ora dimostrarlo in [0,1] è abbastanza semplice il mio problema è dimostrarlo altrove quindi quando non stiamo in [0,1]..
Risposte
Si dice Riemann. 
Inoltre dovresti specificare cosa intendi con "integrabile secondo Riemann in tutto [tex]\mathbb{R}[/tex]".
Inoltre dovresti specificare cosa intendi con "integrabile secondo Riemann in tutto [tex]\mathbb{R}[/tex]".
ah scusa 
comunque intendo che non è integrabile negli altri intervalli in pratica non solo in [0,1] ma anche negli altri solo che trovo una certà difficolta poichè al di fuori di [0,1] la funzione assume sempre valore 0 ..
comunque intendo che non è integrabile negli altri intervalli in pratica non solo in [0,1] ma anche negli altri solo che trovo una certà difficolta poichè al di fuori di [0,1] la funzione assume sempre valore 0 ..
Infatti... La funzione che hai scritto è integrabile (perchè nulla) in ogni insieme misurabile secondo Peano-Jordan [tex]$E\subseteq \mathbb{R}$[/tex] che abbia intersezione vuota con [tex][0,1][/tex].
Se vuoi una funzione non integrabile in alcun sottoinsieme misurabile secondo Peano-Jordan (in particolare in ogni compatto), forse ti conviene considerare la funzione:
[tex]$f(x):=\begin{cases} 1 & ,\text{ se } x\in \mathbb{Q} \\
0 & ,\text{ se } x\in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\end{cases}$[/tex]
che è sempre un prolungamento della funzione di Dirichlet.
Se vuoi una funzione non integrabile in alcun sottoinsieme misurabile secondo Peano-Jordan (in particolare in ogni compatto), forse ti conviene considerare la funzione:
[tex]$f(x):=\begin{cases} 1 & ,\text{ se } x\in \mathbb{Q} \\
0 & ,\text{ se } x\in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\end{cases}$[/tex]
che è sempre un prolungamento della funzione di Dirichlet.
La funzione che hai scritto è integrabile (perchè nulla) in ogni insieme misurabile secondo Peano-Jordan che abbia intersezione vuota con .
intersezione vuota o intersezione con gli estremi dell'intervallo dico bene?
Sisi, hai perfettamente ragione.
Però forse basta addirittura richiedere che [tex]$E\cap [0,1]$[/tex] abbia interno vuoto... Aspetto un parere da dissonance, che su questi fatti è molto attendibile.
Però forse basta addirittura richiedere che [tex]$E\cap [0,1]$[/tex] abbia interno vuoto... Aspetto un parere da dissonance, che su questi fatti è molto attendibile.
wow, "molto attendibile" 
Credo che la congettura di Gugo sia giusta. Questo perché, nell'ambito della misura di Peano-Jordan, se un insieme è misurabile lo sono anche il proprio interno e la propria chiusura, e le rispettive misure coincidono. In particolare ogni insieme misurabile con interno vuoto è trascurabile: quindi se $E nn [0,1]$ ha l'interno vuoto, è trascurabile. Di conseguenza la funzione che avete definito coincide su $E$ con la funzione identicamente nulla (che è integrabile) tranne che su un insieme trascurabile, ed è pertanto integrabile.
Credo che la congettura di Gugo sia giusta. Questo perché, nell'ambito della misura di Peano-Jordan, se un insieme è misurabile lo sono anche il proprio interno e la propria chiusura, e le rispettive misure coincidono. In particolare ogni insieme misurabile con interno vuoto è trascurabile: quindi se $E nn [0,1]$ ha l'interno vuoto, è trascurabile. Di conseguenza la funzione che avete definito coincide su $E$ con la funzione identicamente nulla (che è integrabile) tranne che su un insieme trascurabile, ed è pertanto integrabile.
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