Funzione decrescente

[domenico.migl]

Salve a tutti, sto studiando le serie numeriche e per poter applicare il criterio di Cauchy devo soddisfare l'ipotesi di decrescenza. C'è un modo semplice per verificare se decresce, senza dover calcolare la derivata?
In questo caso $\sum_(n=1)^(+\infty) log(n)/n$ posso dire che è decrescente perchè il denominatore è di infinito di ordine superiore rispetto al numeratore?

[kekkostrada]

Forse intendi la condizione necessaria di Cauchy che ci dice che se la serie converge allora il $ lim_(n->+oo)a_n = 0 $
che il questo caso è soddisfatta dato che il limite della nostra $a_n$ tende proprio a 0.
Puoi verificarlo applicando il teorema di l'Hopital facendo la derivata del numeratore e del denominatore e successivamente svolgere il limite.

[domenico.migl]

no. https://it.wikipedia.org/wiki/Criterio_ ... _di_Cauchy

[domenico.migl]

Stavo seguendo questa strada per vedere se era decrescente:

$log(n+1)/(n+1) (nlog(n+1)-(n+1)log(n))/(n*(n+1))<0$ essendo il denominatore sempre positivo studio solo il numeratore:
$(nlog(n+1)-(n+1)log(n))<0 => log(n+1)^n-log(n)^(n+1)<0 => (n+1)^n-(n)^(n+1)<0$ che non è mai verificata, quindi è crescente.. però così sono andato contro il testo che mi diceva che la successione era decrescente..
Sono ancora più confuso di prima ..... HELP

[kekkostrada]

Le disugualianze le puoi usare per funzioni semplici, nel nostro caso conviene studiare il segno della derivata

[domenico.migl]

Non concordo ..

[kekkostrada]

$ n=x => f(x)= logx/x $
$ f'(x)=(1/x*x+logx*1)/x^2=(1+logx)/x^2 $
adesso studi il segno e vedrai che la derivata è maggiore di zero (quindi funzione crescente) per $x>e^-1$ e minore di zero (funzione decrescente) per $x quindi è strettamente decrescente per ogni n maggiore di e^-1
molto più semplice vero?

[domenico.migl]

Ok concordo avevi ragione tu.

Sempre in merito alle serie sapresti rispondere a questa:

viewtopic.php?f=36&t=167068