Funzione da definire dominio... è corretto?
Ho la seguente funzione: ((2e^x)+(x^2))/((2e^x)-(x^2))
mi viene chiesto di determinare insieme di definizione, segno monotonia e limiti.
essendomi sembrato un po' complicato da studiare il dominio, ho approssimato e^x con il polinomio di taylor fino al secondo ordine ottenendo così il seguente denominatore: 2x+2 e ho posto che l'insieme di definizione era per x diverso da -1....per controllare ho fatto anche il grafico di f(x) originale,ovvero senza approssimazioni ed effettivamente c'era un valore che era praticamente -1 a cui la funzione tendeva all'infinito...ora mi chiedo: ciò che ho fatto è giusto o meno? a me tornerebbe tutto così solo che sono le prime volte che faccio questi tipi di studi di funzione e volevo sapere se erano corretti o meno!
ps poi ho studiato limiti e monotonia con f(x) approssimata.
mi viene chiesto di determinare insieme di definizione, segno monotonia e limiti.
essendomi sembrato un po' complicato da studiare il dominio, ho approssimato e^x con il polinomio di taylor fino al secondo ordine ottenendo così il seguente denominatore: 2x+2 e ho posto che l'insieme di definizione era per x diverso da -1....per controllare ho fatto anche il grafico di f(x) originale,ovvero senza approssimazioni ed effettivamente c'era un valore che era praticamente -1 a cui la funzione tendeva all'infinito...ora mi chiedo: ciò che ho fatto è giusto o meno? a me tornerebbe tutto così solo che sono le prime volte che faccio questi tipi di studi di funzione e volevo sapere se erano corretti o meno!
ps poi ho studiato limiti e monotonia con f(x) approssimata.
Risposte
Ciao, ti consiglio di scrivere le formule con i codici apposta
se questa è la funzione
$f(x)=\frac{2e^x+x^2}{2e^x-x^2}$
io farei un ragionamento molto più semplice...
Studiando il denominatore vedi che è sempre positivo, il denominatore ponendolo uguale a zero hai
$2e^x-x^2=0$ da cui.....
se questa è la funzione
$f(x)=\frac{2e^x+x^2}{2e^x-x^2}$
io farei un ragionamento molto più semplice...
Studiando il denominatore vedi che è sempre positivo, il denominatore ponendolo uguale a zero hai
$2e^x-x^2=0$ da cui.....
ma hai utilizzato i numeri complessi? comunque in ogni caso è giusto come ho fatto io?
io semplicemente deriverei il denominatore, che ti esce $2e^x - 2x$, a questo punto noti che è sempre maggiore di 0 -> funzione sempre crescente che ha un solo zero -> lo chiami $\xi$ e studi la funzione fregandotene altamente di dove sia...
ok grazie mille!
"Glycerine":
io semplicemente deriverei il denominatore, che ti esce $2e^x - 2x$, a questo punto noti che è sempre maggiore di 0 -> funzione sempre crescente che ha un solo zero -> lo chiami $\xi$ e studi la funzione fregandotene altamente di dove sia...
Vorrei capire cosa trovi con questo procedimento...derivando cosa vedi?la crescenza o la decrescenza del denominatore....ma non ti da nessuna informazione per quanto riguarda il segno della funzione....
io molto semplicemente come dico prima guardo dove si annulla il denominatore cioè
con $2e^x-x^2=0$ cioè con $x=e$ allora è positiva per $x>e$ e negativa con $x
aspetto lumi
io comunque facendo il grafico originale di f(x) mi viene indicato che il punto in cui la funzione si annulla è praticamente -1 ed effettivamente con l'approssimazione di taylor mi ritorna tutto così anche per i limiti e il segno...non so vorrei solo capire se il mio procedimento può essere considerato un errore o meno, al di là di tutto..
"ELWOOD":
$2e^x-x^2=0$ cioè con $x=e$
il "metodo" di guardare semplicemente dove si annulla il denominatore è giusto, ma questo risultato è errato.
la questione non mi sembra banalissima, quando mischi esponenziali e polinomiali rischi sempre di fare pasticci.
quel valore che secondo te è \(-1\) è circa \(-0.9012\)
non credo ci sia un modo "semplice" per esprimere quel numero...
l'asintoto è in \(\displaystyle x=-2W\left(\frac1{\sqrt2}\right)\) dove \(W(\cdot)\) è la funzione W di lambert
http://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html
"albertobosia":
[quote="ELWOOD"]$2e^x-x^2=0$ cioè con $x=e$
il "metodo" di guardare semplicemente dove si annulla il denominatore è giusto, ma questo risultato è errato.
la questione non mi sembra banalissima, quando mischi esponenziali e polinomiali rischi sempre di fare pasticci.
quel valore che secondo te è \(-1\) è circa \(-0.9012\)
non credo ci sia un modo "semplice" per esprimere quel numero...
l'asintoto è in \(\displaystyle x=-2W\left(\frac1{\sqrt2}\right)\) dove \(W(\cdot)\) è la funzione W di lambert
http://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html[/quote]
ìì
Riguardandola in effetti mi sono accorto di aver sbagliato, dovresti risolvere $ln(2e^x)=2ln(x)$
mentre io semplificavo in $1=ln(x)$
grazie della dritta
io quel -0.9012 l'ho trovato anche facendo il metodo delle tangenti
"ELWOOD":
[quote="Glycerine"]io semplicemente deriverei il denominatore, che ti esce $2e^x - 2x$, a questo punto noti che è sempre maggiore di 0 -> funzione sempre crescente che ha un solo zero -> lo chiami $\xi$ e studi la funzione fregandotene altamente di dove sia...
Vorrei capire cosa trovi con questo procedimento...derivando cosa vedi?la crescenza o la decrescenza del denominatore....ma non ti da nessuna informazione per quanto riguarda il segno della funzione....
io molto semplicemente come dico prima guardo dove si annulla il denominatore cioè
con $2e^x-x^2=0$ cioè con $x=e$ allora è positiva per $x>e$ e negativa con $x
aspetto lumi[/quote]
Derivando il denominatore non hai informazioni sulla funzione in sè (in realtà ce le hai perchè se poi devi studiare la funzione allora la derivata del denominatore la devi fare), ma sei certo che lo zero del denominatore sia solo uno (che come ti hanno già fatto notare non è $e$) e poi vai avanti nello studio...
per cui derivando il denominatore riesco a capire se ci sono dei valori per cui le derivate 1^ e 2^ si annullano e quelli saranno gli zeri che annullano il denominatore e di conseguenza la funzione, per cui definirò il dominio scartando quei valori? ps. se le derivate prima e seconda risultano >0 per ogni x, significa che il denominatore non si annulla mai e quindi la funzione è definita dappertutto?
Attenzione: sfruttando il segno della derivata prima riesci a capire solo quanti zeri ha il denominatore, ma non quali. Visto che la derivata prima è sempre maggiore di zero sai che la funzione è sempre crescente e quindi ha al più uno zero (che poi ha effettivamente perchè ci sono punti in cui è positiva e punti in cui è negativa).
ma allora concretamente non posso stabilire quale sia lo zero? io vorrei solo capire come trovargli lo zero se nel compito me lo chiede! aiuto..vorrei capire che metodi esistono se il dominio non è banale da calcolare..non potete farmi un elenco di tutte le possibilità?! 
ok pian piano ci sto arrivando,sto capendo... in pratica non esiste una regola fissa.. mammamia però è difficile io non sono abituata ad una matematica così teorica!!
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