Funzione continua tra spazi metrici.
Buongiorno. ho qualche difficolta con l'applicazione della seguente definizione.
Definizione: Siano $(X, d_X), (Y,d_Y)$ spazi metrici e, $F:X to Y$ applicazione.
$F$ continua in $x_0 in X $ se, $ forall epsilon>0,$ $exists delta=delta(epsi, x_0)$ tale che se $d_X(x,x_0)
In tal caso considero il seguente esempio. Preso $X=[a,b]$
i) $RR$ dotato di metrica pitagorica,
ii)$C^0(X)$ dotato di metrica lagrangiana del massimo.
Presi $f, g in C^0(X)$ si ha $|I(f)-I(g)|leint_a^b|f(x)-g(x)| dx le max_(x in X)|f(x)-g(x)|(b-a),$
la quale in sintesi può essere riscritta come
Adesso, vado un po' in confusione, cioè, affinché $I$ sia continua devo prendere, correggetemi se sbaglio, $epsi>d_(C^0)(f,g)(b-a)$ in tal caso posso determinare un $delta=delta(epsilon)le epsi$ dunque,
La definizione di continuità in un punto $x_0$ richiede di mostrare che per ogni $\varepsilon>0$ esiste almeno un $\delta_{\varepsilon}>0$ che, per ogni $x\inX$, rende vera l'implicazione $\text{dist}_X(x,x_0)< \delta_{\varepsilon} \implies \text{dist}_Y(f(x),f(x_0)) < \varepsilon$.
Quindi, fissato $\varepsilon>0$ arbitrario, puoi vincolare dall'alto $\delta_{\varepsilon}$ come vuoi (purché esso sia positivo e dipendente esclusivamente da $\varepsilon>0$ e $x_0$), perché basta esibirne uno che funziona per ogni $\varepsilon>0$ per soddisfare la definizione di continuità (perché per essa c'è un quantificatore esistenziale su $\delta_{\varepsilon}$); quindi esso può essere assunto più piccolo di quello che ti serve basta che ne esista almeno uno; poi, se questo $\delta_{varepsilon}$ esibito è più piccolo di una certa quantità, ce ne frega il giusto (ossia niente).
Quello che invece si suppone è che sia vero $\text{dist}_X(x,x_0) < \delta_{\varepsilon}$, perché si sta dimostrando che è vera un'implicazione $p \implies q$; quindi, si assume vera $p$ e si dimostra che è vera anche $q$.
Perciò, dato che basta esibire almeno un $\delta_{\varepsilon}$ che funziona per la definizione di continuità, si assume $\delta_{\varepsilon}$ più piccolo di un qualcosa (che aiuta a stimare quello che serve) e si assume vero che $\text{dist}_X (x,x_0) < \delta_{\varepsilon}$ e si dimostra che, assunto ciò vero, è vero che $\text{dist}_Y(f(x),f(x_0))<\varepsilon$ è vera, perché è così che si controlla la verità di un'implicazione.
Se ti chiedi invece come si può dedurre quale scelta di $\delta_{\varepsilon}$ aiuta a dimostrare la continuità, tipicamente si lavora al contrario: prima si fanno delle stime sulla quantità $\text{dist}_Y (f(x),f(x_0))$ cercando di ricondursi a delle quantità che dipendono da $\text{dist}_X(x,x_0)$.
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Definizione: Siano $(X, d_X), (Y,d_Y)$ spazi metrici e, $F:X to Y$ applicazione.
$F$ continua in $x_0 in X $ se, $ forall epsilon>0,$ $exists delta=delta(epsi, x_0)$ tale che se $d_X(x,x_0)
In tal caso considero il seguente esempio. Preso $X=[a,b]$
$I :f in C^0(X) to int_a^bf(x) dx in RR$
i) $RR$ dotato di metrica pitagorica,
ii)$C^0(X)$ dotato di metrica lagrangiana del massimo.
Presi $f, g in C^0(X)$ si ha $|I(f)-I(g)|leint_a^b|f(x)-g(x)| dx le max_(x in X)|f(x)-g(x)|(b-a),$
la quale in sintesi può essere riscritta come
$d_(RR)(I(f),I(g))led_(C^0)(f,g)(b-a).$
Adesso, vado un po' in confusione, cioè, affinché $I$ sia continua devo prendere, correggetemi se sbaglio, $epsi>d_(C^0)(f,g)(b-a)$ in tal caso posso determinare un $delta=delta(epsilon)le epsi$ dunque,
$d_(C^0)(f,g)
Non sono molto sicuro di questo. Dove sbaglio ?
Ciao
Non sono molto sicuro di questo. Dove sbaglio ?
Ciao
Risposte
No, devi prendere $\epsilon>0$ e poi $\delta$ di conseguenza.
Esattamente.
@otta96 che si deve prendere prima $epsi$ e poi $delta(epsi)$ l'ho capito, però dall'esempio del libro da cui sto studiando, viene scritto questo
Sostanzialmente mi sto chiedendo:
Perché nella definizione si dice che si deve risolvere prima questa $d_(RR)(I(f),I(g))
@otta96 che si deve prendere prima $epsi$ e poi $delta(epsi)$ l'ho capito, però dall'esempio del libro da cui sto studiando, viene scritto questo
$d_(RR)(I(f),I(g))le(b-a)max_(x in X)|f(x)-g(x)|$ che prova la continuità.
Scritto così mi sembra che si deve prendere un $epsi$ specifico è non arbitrario come da definizione. Sostanzialmente mi sto chiedendo:
Perché nella definizione si dice che si deve risolvere prima questa $d_(RR)(I(f),I(g))
Evidentemente perchè il tuo libro ritiene che sia una buona idea non osservare a parte che uno dei possibili modi per dimostrare la continuità di una funzione è di dimostrare (con le notazioni della definizione) che $EEL>0, AAx, y\inX d_y(F(x),F(y))<=L d_X(x,y)$. Che secondo me è una cosa stupida.
La dimostrazione di questa cosa è facile, basta prendere $\delta(\epsilon)=\epsilon/L$, infatti anche nel tuo caso era inteso che $\epsilon$ fosse generico, ma comunque in generale se hai dubbi o non capisci qualcosa fai affidamento alle definizioni, devono essere una sorta di salvagente a cui sei sicuro di poterti aggrappare per sciogliere un dubbio.
La dimostrazione di questa cosa è facile, basta prendere $\delta(\epsilon)=\epsilon/L$, infatti anche nel tuo caso era inteso che $\epsilon$ fosse generico, ma comunque in generale se hai dubbi o non capisci qualcosa fai affidamento alle definizioni, devono essere una sorta di salvagente a cui sei sicuro di poterti aggrappare per sciogliere un dubbio.
Scusami ma non ho capito quello che mi vuoi dire nella prima parte
Comunque, provando ad applicare la definizione non ci riesco. (non ripeto di nuovo la definizione)
Preso un $epsi>0$, risulta $|int_a^b (f(x)-g(x))dx|-epsi 
"otta96":
Evidentemente perchè il tuo libro ritiene che sia una buona idea non osservare a parte che uno dei possibili modi per dimostrare la continuità di una funzione è di dimostrare (con le notazioni della definizione) che $ EEL>0, AAx, y\inX d_y(F(x),F(y))<=L d_X(x,y) $. Che secondo me è una cosa stupida.
Comunque, provando ad applicare la definizione non ci riesco. (non ripeto di nuovo la definizione)
Preso un $epsi>0$, risulta $|int_a^b (f(x)-g(x))dx|
Prendi $\delta<=\epsilon/(b-a)$ e prova a dimostrare cosa devi dimostrare, vediamo (se e) dove ti blocchi.
Si. Siano $X=[a,b]$ e$I: f in C^0(X) to int_a^bf(x)dxin RR.$
Per provare che $I$ è continua, significa: $forall epsi>0$ devo cercare un $delta>0$ tale che
Per provare che $I$ è continua, significa: $forall epsi>0$ devo cercare un $delta>0$ tale che
$d_(C^0(X))(f,g) d_(RR)(I(f),I(g)) max_(x in X)|f(x)-g(x)||I(f)-I(g)|
Se assumo che risolvendo $(b-a)max_(x in X)|f(x)-g(x)|
Dunque, $(b-a)max_(x in X)|f(x)-g(x)| max_(x in X)|f(x)-g(x)|
Se assumo che risolvendo $(b-a)max_(x in X)|f(x)-g(x)|
Dunque, $(b-a)max_(x in X)|f(x)-g(x)|
Si è giusto, ti faccio vedere come avevo pensato io, che magari ti piace: $d_RR(I(f),I(g))<=(b-a)d_(C^0(X))(f,g)<=(b-a)\epsilon/(b-a)=\epsilon$.
Si, anche cosi, però qui stai supponendo a priori che $d_(C^0(X))(f,g)
No, sto solo supponendo che $d_(C^0(X))(f,g)<\delta<=\epsilon/(b-a)$.
Proprio questa cosa che dici che non mi risulta chiaro, perché lo puoi dire ?
È chiaro che ad occhio si vede subito, ma algebricamente come fai a vederlo. 
È chiaro che ad occhio si vede subito, ma algebricamente come fai a vederlo.
Non riesco veramente a capire cosa non ti risulta chiaro e sarebbe importante che tu capisca questo tipo di ragionamento perchè è importante, aiutami ad aiutarti.
Buongiorno @otta96 ti ringrazio veramente per la disponibilità che stai avendo.
Non capisco questo, perché lo puoi suppore
io, invece me lo sono ricavato il valore $epsi/(b-a).$
Non capisco questo, perché lo puoi suppore
"otta96":
No, sto solo supponendo che $d_(C^0)(X)(f,g)<\delta<=\epsilon/(b-a)$.
io, invece me lo sono ricavato il valore $epsi/(b-a).$
Che $d_(C^0(X))(f,g)<\delta$ lo posso supporre per la definizione di limite, mentre $\delta<=\epsilon/(b-a)$ perchè l'ho scelto io così, in modo che poi torni tutto.
Scusami continuo a non capire riporto la definizione di continuità.
Presi $X, Y$ spazi metrici, e siano $f: X to Y$ applicazione e $x_0 in X.$
Si dice che $f$ continua in $x_0$ $<=>^(def.) forall epsi>0 exists delta(epsi)>0: x in X, d_X(x,x_0) d_Y(f(x), f(y))
riporto la definizione di continuità. Presi $X, Y$ spazi metrici, e siano $f: X to Y$ applicazione e $x_0 in X.$
Si dice che $f$ continua in $x_0$ $<=>^(def.) forall epsi>0 exists delta(epsi)>0: x in X, d_X(x,x_0)
"otta96":dalla definizione, il delta è conseguenza della scelta di $epsi$, non si può supporre a priori.
Che $ d_(C^0(X))(f,g)<\delta $ lo posso supporre per la definizione di limite
"otta96":quando l'hai scelto ?
mentre $ \delta<=\epsilon/(b-a) $ perchè l'ho scelto io così
"Yuyu_13":
il delta è conseguenza della scelta di $epsi$, non si può supporre a priori.
La definizione di continuità in un punto $x_0$ richiede di mostrare che per ogni $\varepsilon>0$ esiste almeno un $\delta_{\varepsilon}>0$ che, per ogni $x\inX$, rende vera l'implicazione $\text{dist}_X(x,x_0)< \delta_{\varepsilon} \implies \text{dist}_Y(f(x),f(x_0)) < \varepsilon$.
Quindi, fissato $\varepsilon>0$ arbitrario, puoi vincolare dall'alto $\delta_{\varepsilon}$ come vuoi (purché esso sia positivo e dipendente esclusivamente da $\varepsilon>0$ e $x_0$), perché basta esibirne uno che funziona per ogni $\varepsilon>0$ per soddisfare la definizione di continuità (perché per essa c'è un quantificatore esistenziale su $\delta_{\varepsilon}$); quindi esso può essere assunto più piccolo di quello che ti serve basta che ne esista almeno uno; poi, se questo $\delta_{varepsilon}$ esibito è più piccolo di una certa quantità, ce ne frega il giusto (ossia niente).
Quello che invece si suppone è che sia vero $\text{dist}_X(x,x_0) < \delta_{\varepsilon}$, perché si sta dimostrando che è vera un'implicazione $p \implies q$; quindi, si assume vera $p$ e si dimostra che è vera anche $q$.
Perciò, dato che basta esibire almeno un $\delta_{\varepsilon}$ che funziona per la definizione di continuità, si assume $\delta_{\varepsilon}$ più piccolo di un qualcosa (che aiuta a stimare quello che serve) e si assume vero che $\text{dist}_X (x,x_0) < \delta_{\varepsilon}$ e si dimostra che, assunto ciò vero, è vero che $\text{dist}_Y(f(x),f(x_0))<\varepsilon$ è vera, perché è così che si controlla la verità di un'implicazione.
Se ti chiedi invece come si può dedurre quale scelta di $\delta_{\varepsilon}$ aiuta a dimostrare la continuità, tipicamente si lavora al contrario: prima si fanno delle stime sulla quantità $\text{dist}_Y (f(x),f(x_0))$ cercando di ricondursi a delle quantità che dipendono da $\text{dist}_X(x,x_0)$.
@otta96, @Mephlip forse ho l'idee un po' confuse, ho posto male la domanda... presumo.
@otta96 hai capito che io volessi verificare l'implicazione presente nella definizione ?
@Mephlip mi trovo su tutto quello che hai scritto! infatti per provare che una certa funzione risulti continua faccio esattamente come hai riportato tu.
Ora non capisco perché bisogna prendere per vero che $ \text{dist}_X (x,x_0) < \delta_{\varepsilon} $ e poi ...
forse ho posto male la domanda, non mi sono fatto capire, scusami @otta96.
In sintesi, per provare la continuità faccio delle stime su $ \text{dist}_Y (f(x),f(x_0)) $ per ricondurmi a delle quantità che dipendono da $ \text{dist}_X(x,x_0) $, nello specifico ho maggiorato la quantità $ d_RR(I(f),I(g))$ nella seguente maniera
@otta96 hai capito che io volessi verificare l'implicazione presente nella definizione ?
@Mephlip mi trovo su tutto quello che hai scritto! infatti per provare che una certa funzione risulti continua faccio esattamente come hai riportato tu.
Ora non capisco perché bisogna prendere per vero che $ \text{dist}_X (x,x_0) < \delta_{\varepsilon} $ e poi ...
forse ho posto male la domanda, non mi sono fatto capire, scusami @otta96.
In sintesi, per provare la continuità faccio delle stime su $ \text{dist}_Y (f(x),f(x_0)) $ per ricondurmi a delle quantità che dipendono da $ \text{dist}_X(x,x_0) $, nello specifico ho maggiorato la quantità $ d_RR(I(f),I(g))$ nella seguente maniera
$ d_RR(I(f),I(g))<=(b-a)d_(C^0(X))(f,g),$
osservando che se una certa proprietà $P$ è vera per dei valori $nu$ allora necessariamente è vera anche per $nu'ge nu$, dunque, risolvo $ (b-a)d_(C^0(X))(f,g)d_(C^0(X))(f,g)
Infine, basta prendere $delta_(epsi)le epsi/(b-a)$ affinché venga verificata la continuità di $I.$
Infine, basta prendere $delta_(epsi)le epsi/(b-a)$ affinché venga verificata la continuità di $I.$
Non penso che tu abbia posto male qualche domanda, forse ti è solo poco chiaro cosa sta succedendo dal punto di vista logico.
Come nei teoremi della forma "se $p$ allora $q$", quando dimostri un teorema del tipo "se $p$ allora $q$" supponi che sia vera $p$ e, dalla verità di $p$, mostri che segue la verità di $q$.
Qua hai un'implicazione $\text{dist}_X(x,x_0) < \delta_{\varepsilon} \implies \text{dist}_Y(f(x),f(x_0))$ che vuoi dimostrare vera, è la stessa cosa: quindi devi prendere per vero $\text{dist}_X(x,x_0) < \delta_{\varepsilon}$.
Anche perché, se non assumi vero $\text{dist}_X(x,x_0) < \delta_{\varepsilon}$, perché dovrebbe valere la stima $(b-a)\text{dist}_X(x,x_0) <(b-a)\frac{\varepsilon}{b-a}$ che usi per ottenere la continuità? Usi disuguaglianze che potrebbero essere false?
Come nei teoremi della forma "se $p$ allora $q$", quando dimostri un teorema del tipo "se $p$ allora $q$" supponi che sia vera $p$ e, dalla verità di $p$, mostri che segue la verità di $q$.
Qua hai un'implicazione $\text{dist}_X(x,x_0) < \delta_{\varepsilon} \implies \text{dist}_Y(f(x),f(x_0))$ che vuoi dimostrare vera, è la stessa cosa: quindi devi prendere per vero $\text{dist}_X(x,x_0) < \delta_{\varepsilon}$.
Anche perché, se non assumi vero $\text{dist}_X(x,x_0) < \delta_{\varepsilon}$, perché dovrebbe valere la stima $(b-a)\text{dist}_X(x,x_0) <(b-a)\frac{\varepsilon}{b-a}$ che usi per ottenere la continuità? Usi disuguaglianze che potrebbero essere false?
Buongiorno. @Mephlip dal punto di vista logico ci sono. Lascio per un momento in sospeso questo argomento.
Voglio provare che $lim_(x to 1)x^2=1$.
Dunque, ricordo della definizione $epsi, delta$
Si dice che $f$ tende a $l in RR$, comunque si sceglie $epsi>0$ esiste un $delta_(epsi)$ tale che, per ogni $x in dom(f)$ per cui $0<|x-x_0|
Questi sono i passaggi che io faccio in ordine:
1) fisso a piacere un $epsi>0$;
2) risolvo $|f(x)-l|
Perché: la definizione ci dice che preso un $epsi>0$ a piacere, esiste un $delta_(epsi)$, il quale per ogni $x in dom(f)$ tale che $0<|x-x_0|
Applicazione:
$dom(f)=RR,$
fisso $epsi>0,$ $|x^2-1|=|x-1||x+1|
Quindi, prendo $|x-1|
Dove sbaglio ?
Voglio provare che $lim_(x to 1)x^2=1$.
Dunque, ricordo della definizione $epsi, delta$
Si dice che $f$ tende a $l in RR$, comunque si sceglie $epsi>0$ esiste un $delta_(epsi)$ tale che, per ogni $x in dom(f)$ per cui $0<|x-x_0|
Questi sono i passaggi che io faccio in ordine:
1) fisso a piacere un $epsi>0$;
2) risolvo $|f(x)-l|
Perché: la definizione ci dice che preso un $epsi>0$ a piacere, esiste un $delta_(epsi)$, il quale per ogni $x in dom(f)$ tale che $0<|x-x_0|
Applicazione:
$dom(f)=RR,$
fisso $epsi>0,$ $|x^2-1|=|x-1||x+1|
Quindi, prendo $|x-1|
Dove sbaglio ?
Hai due vincoli su $\delta_{\varepsilon}$, uno perché viene richiesto che sia $\delta_{\varepsilon}<1$ per poter stimare la quantità $|x+1|$ con $3$ e l'altro perché viene richiesto che sia $\delta_{\varepsilon}< \frac{1}{3}\varepsilon$ affinché $x^2$ abbia limite $1$ per $x \to 1$.
Dato che, affinché la tua dimostrazione funzioni, questi due vincoli devono essere verificati simultaneamente, un modo per assicurarsi che ciò avvenga è esibire $\delta_{\varepsilon}=\text{min} \{1,\frac{1}{3}\varepsilon\}$; questo perché, per definizione, è $\text{min} \{1,\frac{1}{3}\varepsilon\} \leq 1$ e $\text{min} \{1,\frac{1}{3}\varepsilon\} \leq frac{1}{3}\varepsilon$.
Il resto è sostanzialmente corretto: l'unica cosa che mi sento di dirti è che non restringi il dominio di $f$, ma restringi la distanza che c'è tra $x$ e $1$ (ossia $|x-1|$) a essere non più grande di $1$.
Non so in realtà se ho ben capito perché pensi di sbagliare: quello che fai tu è giusto, ma è solamente un modo per ricavare uno dei $\delta_{\varepsilon}$ che funziona per la dimostrazione, però poi la dimostrazione rigorosa va fatta così:
In pratica, devi farlo "sul foglio di brutta" il conto per trovare quale $\delta_{\varepsilon}$ funziona, ma poi non è parte integrante della dimostrazione; anzi, tu devi solo esibirlo, non devi giustificare come l'hai trovato. Lo puoi pure trovare perché, cadendoti la penna sul foglio, scrive casualmente $\delta_{\varepsilon}=\text{min}\{1,\frac{1}{3}\varepsilon\}$.
Ti consiglio caldamente il testo Kane - Writing Proofs in Analysis, è praticamente un tutorial per queste cose.
Dato che, affinché la tua dimostrazione funzioni, questi due vincoli devono essere verificati simultaneamente, un modo per assicurarsi che ciò avvenga è esibire $\delta_{\varepsilon}=\text{min} \{1,\frac{1}{3}\varepsilon\}$; questo perché, per definizione, è $\text{min} \{1,\frac{1}{3}\varepsilon\} \leq 1$ e $\text{min} \{1,\frac{1}{3}\varepsilon\} \leq frac{1}{3}\varepsilon$.
Il resto è sostanzialmente corretto: l'unica cosa che mi sento di dirti è che non restringi il dominio di $f$, ma restringi la distanza che c'è tra $x$ e $1$ (ossia $|x-1|$) a essere non più grande di $1$.
Non so in realtà se ho ben capito perché pensi di sbagliare: quello che fai tu è giusto, ma è solamente un modo per ricavare uno dei $\delta_{\varepsilon}$ che funziona per la dimostrazione, però poi la dimostrazione rigorosa va fatta così:
Sia $\varepsilon>0$ e sia $\delta_{\varepsilon}=\text{min}\{1,\frac{1}{3}\varepsilon\}$. Sia $x\in\mathbb{R} \setminus \{1\}$ tale che $|x-1|<\delta_{\varepsilon}$ è vera. Si ha pertanto
$$|x^2-1|=|x+1|\cdot|x-1| < 3|x-1| <3\delta_{\varepsilon} = 3\text{min}\left\{1,\frac{1}{3}\varepsilon\right\} \leq 3\cdot\frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon$$
Ossia $|x-1|<\text{min}\{1,\frac{1}{3}\varepsilon\} \implies |x^2-1|<\varepsilon$; per l'arbitrarietà di $\varepsilon>0$ e $x \in\mathbb{R} \setminus \{1\}$, ciò vale per ogni $\varepsilon>0$ e per ogni $x \in\mathbb{R} \setminus \{1\}$.
Ciò mostra che $x^2 \to 1$ per $x \to 1$. $\square$
In pratica, devi farlo "sul foglio di brutta" il conto per trovare quale $\delta_{\varepsilon}$ funziona, ma poi non è parte integrante della dimostrazione; anzi, tu devi solo esibirlo, non devi giustificare come l'hai trovato. Lo puoi pure trovare perché, cadendoti la penna sul foglio, scrive casualmente $\delta_{\varepsilon}=\text{min}\{1,\frac{1}{3}\varepsilon\}$.
Ti consiglio caldamente il testo Kane - Writing Proofs in Analysis, è praticamente un tutorial per queste cose.
Penso di aver capito cosa vuoi dire. Per avere conferma
Sostanzialmente mi stai dicendo che quello che faccio è giusto ai fini della determinazione di $delta_epsi$, invece, per avere una dimostrazione rigorosa è provare quella "famosa" implicazione.
Giusto ?
Sono stato contorto nel capire quello che mi stessi dicendo in virtù del fatto che ho sempre operato nella maniera proposta sulla verifica del limite, non facevo nulla più.
Sostanzialmente mi stai dicendo che quello che faccio è giusto ai fini della determinazione di $delta_epsi$, invece, per avere una dimostrazione rigorosa è provare quella "famosa" implicazione.
Giusto ?
Sono stato contorto nel capire quello che mi stessi dicendo in virtù del fatto che ho sempre operato nella maniera proposta sulla verifica del limite, non facevo nulla più.
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