Funzione continua tra spazi metrici.

[Yuyu_13]

Buongiorno. ho qualche difficolta con l'applicazione della seguente definizione.

Definizione: Siano $(X, d_X), (Y,d_Y)$ spazi metrici e, $F:X to Y$ applicazione.
$F$ continua in $x_0 in X $ se, $ forall epsilon>0,$ $exists delta=delta(epsi, x_0)$ tale che se $d_X(x,x_0)

In tal caso considero il seguente esempio. Preso $X=[a,b]$

$I :f in C^0(X) to int_a^bf(x) dx in RR$

i) $RR$ dotato di metrica pitagorica,
ii)$C^0(X)$ dotato di metrica lagrangiana del massimo.

Presi $f, g in C^0(X)$ si ha $|I(f)-I(g)|leint_a^b|f(x)-g(x)| dx le max_(x in X)|f(x)-g(x)|(b-a),$
la quale in sintesi può essere riscritta come

$d_(RR)(I(f),I(g))led_(C^0)(f,g)(b-a).$

Adesso, vado un po' in confusione, cioè, affinché $I$ sia continua devo prendere, correggetemi se sbaglio, $epsi>d_(C^0)(f,g)(b-a)$ in tal caso posso determinare un $delta=delta(epsilon)le epsi$ dunque,

$d_(C^0)(f,g)

Non sono molto sicuro di questo. Dove sbaglio ?

Ciao

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Risposte

Mephlip

30 ago 2021, 13:11

"Yuyu_13":
Sostanzialmente mi stai dicendo che quello che faccio è giusto ai fini della determinazione di $delta_epsi$, invece, per avere una dimostrazione rigorosa è provare quella "famosa" implicazione.
Giusto ?

Esattamente!

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Yuyu_13

3 set 2021, 07:56

Grazie per l'aiuto e soprattutto per la disponibilità.

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otta96

4 set 2021, 13:17

@Yuyu_13 Non ti ho più risposto perchè ero andato in vacanza e non riuscivo a acedere dal telefono perchè non mi ricordavo la password, comunque in sostanza quello che volevo farti capire era che quello che dicevo io e che dicevi tu erano equivalenti, ma fondamentalmente te lo ha già detto Mephlip.

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Yuyu_13

7 set 2021, 09:42

Si si grazie @otta96

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[Mephlip]

"Yuyu_13":
Sostanzialmente mi stai dicendo che quello che faccio è giusto ai fini della determinazione di $delta_epsi$, invece, per avere una dimostrazione rigorosa è provare quella "famosa" implicazione.
Giusto ?

Esattamente!

[Yuyu_13]

Grazie per l'aiuto e soprattutto per la disponibilità.

[otta96]

@Yuyu_13 Non ti ho più risposto perchè ero andato in vacanza e non riuscivo a acedere dal telefono perchè non mi ricordavo la password, comunque in sostanza quello che volevo farti capire era che quello che dicevo io e che dicevi tu erano equivalenti, ma fondamentalmente te lo ha già detto Mephlip.

[Yuyu_13]

Si si grazie @otta96