Funzione continua NON lipschitziana

[Sk_Anonymous]

Salve, potete scrivermi una funzione continua che NON sia lipschitziana?

Se riusciste a trovare una \( \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) sarebbe ancora meglio, ma non è indispensabile.

Grazie

[Seneca1]

$f(x) = sin(x^2)$

[dissonance]

\(f(x)=\sqrt{\lvert x \rvert}.\)

[Sk_Anonymous]

"Seneca":$f(x) = sin(x^2)$

Scusa Seneca potresti spiegarmi perchè non è lipschitziana? Cioè quali sono le \( x,y \in \mathbb{R} \) t.c. \( \|f(x)-f(y) \| > K \| x-y\| \forall K \in \mathbb{R-\{\pm \infty\}}\)

EDIT: avevo commesso un'errore nel simbolo di disuguaglianza, l'ho corretto perchè la voglio non lipschitziana

[asvg]xmin = -5; xmax = 5; ymin = -1; ymax = 1;
axes();
stroke="red"; // seleziona il colore rosso
plot("sin(x^2)"); // disegna la funzione seno[/asvg]

[Seneca1]

La lipschitzianità viene persa all'infinito. Comunque ti basta provare che $sin(x^2)$ non è uniformemente continua (esercizio!).

[Sk_Anonymous]

Credo che dato \( \epsilon > 0 \) si può sempre scegliere \( x_1 \) ed \( x_2 \) con \(\|x_1-x_2\|<\delta\) tali che \( \| f(x_1) - f(x_2) \| = 2\) e quindi è preclusa la possibiltà di scegliere \(\epsilon\) arbitraria tale che \( \| f(x_1) - f(x_2) \|<\epsilon\). E' corretto Seneca?

Non sapevo che se una funzione è lipschitziana allora deve essere uniformemente continua, l'ho imparato ora, ti ringrazio. Comunque mi interessava, se ci fosse, anche una spiegazione più "intuitiva", tipo quella di wikipedia, ovvero tracciare due rette tangenti ad un punto tali che la funzione "prima" e "dopo" sia contenuta nella zona "esterna" delimitata dalle rette, con le rette che non sono "verticali". Quindi il rapporto incrementale si mantiene limitata.

Per avere più dettagli su quello che voglio dire, potresti guardare la relativa pagina di wikipedia

[dissonance]

Hai provato a cercare in questa pagina?

http://www.batmath.it/matematica/an_uno ... t_unif.htm

[Seneca1]

Una spiegazione intuitiva è questa: per $x$ sufficientemente grande, le oscillazioni di $sin(x^2)$ si fanno sempre più "strette". Ne viene che, fissato $epsilon = 1/2$, non è possibile scegliere un $delta$ tale che per ogni $x_1 , x_2 \in RR$ con $|x_1 - x_2| < delta$ si abbia $|f(x_1) - f(x_2)| < 1/2$...

[Sk_Anonymous]

"Seneca":Una spiegazione intuitiva è questa: per $x$ sufficientemente grande, le oscillazioni di $sin(x^2)$ si fanno sempre più "strette". Ne viene che, fissato $epsilon = 1/2$, non è possibile scegliere un $delta$ tale che per ogni $x_1 , x_2 \in RR$ con $|x_1 - x_2| < delta$ si abbia $|f(x_1) - f(x_2)| < 1/2$...

Ti ringrazio, ma cercavo una spiegazione intuitiva per la lipschizianità, non per l'uniforme continuità. Non so se non mi sono spiegato, magari prova a rileggere la parte dove chiedo la spiegazione intuitiva ma soprattutto a guardare (se puoi ovviamente) la pagina di wikipedia che ti ho linkato dove c'è la didascalia dell'immagine che ho postato anche qui. Secondo me con quel procedimento grafico, se così possiamo chiamarlo, la tua funzione sarebbe lipschiziana.

"dissonance":Hai provato a cercare in questa pagina?

http://www.batmath.it/matematica/an_uno ... t_unif.htm

Ti ringrazio, pomeriggio la guardo perchè vedo che è abbastanza lunga, ora non ho proprio tempo!