Funzione continua manda un compatto in un compatto
Vorrei dimostrare che, se $f(x)$ definita su un compatto (A) è continua, allora $f(A)$ è un insieme compatto. Che sia limitato è evidente, basta usare il teorema di Weierstrass. Ora dovrei dimostrare che è anche chiuso.
Per assurdo, mettiamo che f(A) sia aperto. Allora esiste un punto di accumulazione $z$ tale che $z$ non appartiene all'immagine di f. Poichè z è punto di accumulazione, per ogni intorno di z esiste almeno un punto di $f(A)$. Posso allora costruire una successione che tende a z ($z_1,z_2,\cdots$). Per ognuno dei $z_i$ trovo un punto $x_i\in A$. Per Bolzano-Weierstrass la successione degli $x_i$ ammette un limite $x_0$. Si avrebbe allora $\lim_{x\to x_0} f(x) = z$. Poichè $z\neq f(x_0)$ posso dedurre che la funzione non è continua, assurdo.
Come vi sembra il procedimento?
Per assurdo, mettiamo che f(A) sia aperto. Allora esiste un punto di accumulazione $z$ tale che $z$ non appartiene all'immagine di f. Poichè z è punto di accumulazione, per ogni intorno di z esiste almeno un punto di $f(A)$. Posso allora costruire una successione che tende a z ($z_1,z_2,\cdots$). Per ognuno dei $z_i$ trovo un punto $x_i\in A$. Per Bolzano-Weierstrass la successione degli $x_i$ ammette un limite $x_0$. Si avrebbe allora $\lim_{x\to x_0} f(x) = z$. Poichè $z\neq f(x_0)$ posso dedurre che la funzione non è continua, assurdo.
Come vi sembra il procedimento?
Risposte
Vabbenissimo, ma 
Oppure sbaglio?
"newton_1372":qui serve l'assioma della scelta; sai di che parlo?
...Per ognuno dei $z_i$ trovo un punto $x_i\in A$...
Oppure sbaglio?
Sia A l'unione di n insiemi B, cioè $A=\cup_{i=1}^n B_i$. Allora esiste un'applicazione bigettiva che ad ogni intero $i$, per i compreso tra 1 e n, associa uno e un solo elemento di $B_i$.
L'ho detta un pò velocemente.....ma non vedo in che modo l'abbiamo usato...
vorrei un'altra chiarifica: il procedimento che ho usato è del tutto logico, ci sono errori di dimostrazione?
Vorrei chiarire una cosa importante...per ogni $z_i$ trovo un $x_i$, ma non è un $x_i$ qualunque...ho dimenticato di scrivere TALE CHE $f(x_i)=z_i$...però mi chiedo chi me lo dice che l' $f(x_0)$ immagine del $x_0$ che trovo con bolzano-weierstrass coincide proprio con il $z$...?
L'ho detta un pò velocemente.....ma non vedo in che modo l'abbiamo usato...
vorrei un'altra chiarifica: il procedimento che ho usato è del tutto logico, ci sono errori di dimostrazione?
Vorrei chiarire una cosa importante...per ogni $z_i$ trovo un $x_i$, ma non è un $x_i$ qualunque...ho dimenticato di scrivere TALE CHE $f(x_i)=z_i$...però mi chiedo chi me lo dice che l' $f(x_0)$ immagine del $x_0$ che trovo con bolzano-weierstrass coincide proprio con il $z$...?
Non "va benissimo", e non per inutili sottigliezze come l'assioma della scelta ma per un fatto ben più sostanziale:
Questo concettualmente è un grosso errore. Dire che un insieme "non è chiuso" non equivale a dire che esso "è aperto". Per esempio \(\mathbb{R}\) stesso è un sottoinsieme chiuso e aperto simultaneamente di \(\mathbb{R}\).
Comunque la cosa finisce qui perché poi il tuo ragionamento è corretto. Armando si riferisce al fatto che quando costruisci la successione \(x_n\) a partire dalla \(z_n\) compi un'infinità di scelte arbitrarie e per questo serve l'assioma della scelta, in una versione "mild" visto che le scelte arbitrarie sono una infinità numerabile. Poco male, in tutte queste dimostrazioni ciò si fa implicitamente. Ne parlammo tempo fa qui :
assioma-della-scelta-e-continuita-t40255.html
"newton_1372":
Ora dovrei dimostrare che è anche chiuso.
Per assurdo, mettiamo che f(A) sia aperto.
Questo concettualmente è un grosso errore. Dire che un insieme "non è chiuso" non equivale a dire che esso "è aperto". Per esempio \(\mathbb{R}\) stesso è un sottoinsieme chiuso e aperto simultaneamente di \(\mathbb{R}\).
Comunque la cosa finisce qui perché poi il tuo ragionamento è corretto. Armando si riferisce al fatto che quando costruisci la successione \(x_n\) a partire dalla \(z_n\) compi un'infinità di scelte arbitrarie e per questo serve l'assioma della scelta, in una versione "mild" visto che le scelte arbitrarie sono una infinità numerabile. Poco male, in tutte queste dimostrazioni ciò si fa implicitamente. Ne parlammo tempo fa qui :
assioma-della-scelta-e-continuita-t40255.html
Si vede che il mal di testa continua a farmi sua vittima; comunque, newton alla tua ultima domanda posso rispondere (sempre a meno di miei errori) dicendoti che utilizzi la sequenziale continuità di \(f\).
Per il teorema del ponte (un nome che dissonance non gradisce) una funzione è continua se e solo se è sequenzialmente continua.
@dissonance Bella discussione, me la leggerò dato che non mi sembra molto comune questo particolare!
Per il teorema del ponte (un nome che dissonance non gradisce) una funzione è continua se e solo se è sequenzialmente continua.
@dissonance Bella discussione, me la leggerò dato che non mi sembra molto comune questo particolare!
$\alpha$ La definizione di insieme aperto allora non è che esiste un punto di accumulazione che non appartiene all'insieme? Questa proposizione è l'esatta negazione di insieme chiuso...
$\beta$ Come faccio a sapere che per x che tende a $x_0$ la f tende proprio a $z$? Cioè cosa mi dice che $f(x_0)=z$?
$\gamma$ Domanda affascinante sull'assioma della scelta...il fatto di "scegliere" l' $x_i$ deriva dal fatto che la funzione potrebbe NON essere iniettiva?
$\beta$ Come faccio a sapere che per x che tende a $x_0$ la f tende proprio a $z$? Cioè cosa mi dice che $f(x_0)=z$?
$\gamma$ Domanda affascinante sull'assioma della scelta...il fatto di "scegliere" l' $x_i$ deriva dal fatto che la funzione potrebbe NON essere iniettiva?
\(\alpha\) Assolutamente no, meno male che ce ne siamo accorti perché se questa cosa saltava fuori ad un esame erano dolori. Questa che citi è la definizione di insieme non-chiuso. Invece un sottoinsieme di \(\mathbb{R}\) si dice aperto se per ogni suo punto \(x\) esiste un \(\delta(x) > 0\) tale che l'intorno \((x-\delta, x+\delta)\) è contenuto nell'insieme. Ovvie generalizzazioni ad \(\mathbb{R}^n\), a \(\mathbb{C}\) o a spazi metrici astratti.
Non è detto che un insieme non-chiuso sia aperto.
\(\beta\) Questo è per costruzione. Detta \(x_{k_n}\) l'estratta convergente di \(x_n\), per costruzione \(f(x_{k_n})\) è una estratta di \(f(x_n)\) che converge a \(z\).
\(\gamma\) Non lo so e non mi interessa tanto. Tanti teoremi, anche fondamentali, si dimostrano di default con l'assioma della scelta, e io mi sono abituato ad usarlo senza remore. Qui poi le scelte che tu compi sono un'infinità numerabile, ed è quindi una versione dell'assioma della scelta ancora più innocua.
Non è detto che un insieme non-chiuso sia aperto.
\(\beta\) Questo è per costruzione. Detta \(x_{k_n}\) l'estratta convergente di \(x_n\), per costruzione \(f(x_{k_n})\) è una estratta di \(f(x_n)\) che converge a \(z\).
\(\gamma\) Non lo so e non mi interessa tanto. Tanti teoremi, anche fondamentali, si dimostrano di default con l'assioma della scelta, e io mi sono abituato ad usarlo senza remore. Qui poi le scelte che tu compi sono un'infinità numerabile, ed è quindi una versione dell'assioma della scelta ancora più innocua.
La differenza è sottile...la non chiusura allora richiede in ogni punto dell'insieme in ogni intorno ci sia ALMENO un altro elemento dell'insieme...mentre l'apertura richiede che deve esistere UN INTERO INTORNO che ci sta dentro...dico bene?
Quasi bene. Riformula la definizione di insieme non-chiuso. Invece la definizione di insieme aperto è corretta.
Perchè un insieme sia aperto occorre che in ogni suo punto esista almeno un intervallo interamente contenuto nell'insieme.
Perchè sia non chiuso è sufficiente che esista un punto di accumulazione che non stia nell'insieme, cioè che esista un punto non contenuto nell'insieme che abbia in ogni suo intorno almeno un elemento dell'insieme...
E a vedere bene non si escludono, l'apertura include sicuramente la non chiusura, ma è una condizione diciamo più forte
Perchè sia non chiuso è sufficiente che esista un punto di accumulazione che non stia nell'insieme, cioè che esista un punto non contenuto nell'insieme che abbia in ogni suo intorno almeno un elemento dell'insieme...
E a vedere bene non si escludono, l'apertura include sicuramente la non chiusura, ma è una condizione diciamo più forte
No, ancora non ci sei! Si, le definizioni ora vanno bene, ma non c'è relazione tra "essere aperto" ed "essere chiuso". Può succedere che un insieme sia aperto e chiuso contemporaneamente.
oh my god! La dialettica degli opposti, Hegel sarebbe contento! (:D)
Un insieme può contenere tutti i suoi punti di accumulazione, e nel contempo contenere intorni di ogni suo punto? Posso avere un esempio?
Un insieme può contenere tutti i suoi punti di accumulazione, e nel contempo contenere intorni di ogni suo punto? Posso avere un esempio?
Cioè è già stato fatto l'esempio di tutto R, ma mi chiedevo se ci fosse un esempio un pò meno " banale", piu interessante...(mi sembra di capire che gli insiemi sia chiusi che aperti non possono essere limitati)
Per avere un esempio meno banale devi spostarti su uno spazio metrico più "brutto" di \(\mathbb{R}\). Esempio importante: \(\mathbb{Z}\). Si tratta di un sottoinsieme di \(\mathbb{R}\) in cui ogni punto è un insieme sia chiuso sia aperto.
Infatti questo concetto si usa proprio per definire la nozione di spazio connesso: uno spazio topologico (in particolare uno spazio metrico) è connesso se e solo se gli unici insiemi simultaneamente chiusi e aperti sono \(\varnothing\) e lo spazio totale. Quindi ad esempio \(\mathbb{Z}\) non è connesso, il che è in accordo con la nostra intuizione che lo vuole come uno spazio "granulare", in cui i punti sono "staccati" l'uno dall'altro. Un altro esempio (spero) illuminante è
\[X=(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)\subset \mathbb{R}.\]
Puoi verificare facilmente che le due semirette sono altrettanti sottoinsiemi simultaneamente chiusi e aperti di \(X\) (attenzione!!! "chiuso" o "aperto" in \(X\) è cosa diversa da dire "chiuso" o "aperto" in \(\mathbb{R}\)).
Infatti questo concetto si usa proprio per definire la nozione di spazio connesso: uno spazio topologico (in particolare uno spazio metrico) è connesso se e solo se gli unici insiemi simultaneamente chiusi e aperti sono \(\varnothing\) e lo spazio totale. Quindi ad esempio \(\mathbb{Z}\) non è connesso, il che è in accordo con la nostra intuizione che lo vuole come uno spazio "granulare", in cui i punti sono "staccati" l'uno dall'altro. Un altro esempio (spero) illuminante è
\[X=(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)\subset \mathbb{R}.\]
Puoi verificare facilmente che le due semirette sono altrettanti sottoinsiemi simultaneamente chiusi e aperti di \(X\) (attenzione!!! "chiuso" o "aperto" in \(X\) è cosa diversa da dire "chiuso" o "aperto" in \(\mathbb{R}\)).
Davvero molto interessante...mi chiedo cosa ci sia davvero in profondità al concetto di vicinanza (e quindi di topologia). E forse è qui che algebra lineare e analisi si incontrano: l'intorno infatti si definisce col concetto di distanza, che a sua volta si definisce con la nozione di norma, che a sua volta si definisce con la nozione di prodotto scalare...anche se non riesco neanche lontanamente a immaginare cosa sia intuitivamente un "intorno" di una matrice...
Complimenti per il tuo ultimo post: hai fatto un salto mentale in alto notevole. 
Tieni presente che il concetto di vicinanza non è esclusivo della distanza, come pure i concetti di insieme aperto, chiuso, connesso, e.o. che sono stati utilizzati nei precedenti post... qui mi fermo perché il mio mal di testa non è del tutto scomparso!
Tieni presente che il concetto di vicinanza non è esclusivo della distanza, come pure i concetti di insieme aperto, chiuso, connesso, e.o. che sono stati utilizzati nei precedenti post... qui mi fermo perché il mio mal di testa non è del tutto scomparso!
Scusa ma intuitivamente più un oggetto è vicino da un altro minore è la distanza...non vedo come si possa scorrelare i due concetti...cmq mi fate un esempio di due matrici "che stanno più vicine" di altre due? E visto che la distanza non c'entra, mi direste anche CON CHE CRITERIO le avete scelte?
Intuitivamente hai ragione tu, ma riprendo l'insieme \(\mathbb{Z}\): tu hai che la distanza tra due numeri interi è fornita dal valore assoluto della loro differenza.
Leggendo qui posso definire la seguente distanza \(01\):
\[\forall x;y\in\mathbb{Z},\,\delta(x;y)=\begin{cases}
1\iff x\neq y\\
0\iff x=y
\end{cases}\]
o più in generale la posso definire su un qualunque insieme (tipo un insieme di matrici); cos'ha d'intuitivo questa distanza? A livello fisico nulla, concettualmente dice che due oggetti distinti hanno sempre distanza \(1\)!
Più in generale posso scegliere i sottoinsiemi aperti di un insieme qualunque così da definire una topologia e sbizzarrirmi col concetto di intorno.
Spero di non averti confuso le idee, se vuoi un esempio classico ma non banale con le matrici ti lascio questo link.
P.S.: Il giorno che riuscirò a immaginarmi un intorno di matrici che non siano di tipo \(1\times1\) mi dovrò iniziare a preoccupare di brutto...
Leggendo qui posso definire la seguente distanza \(01\):
\[\forall x;y\in\mathbb{Z},\,\delta(x;y)=\begin{cases}
1\iff x\neq y\\
0\iff x=y
\end{cases}\]
o più in generale la posso definire su un qualunque insieme (tipo un insieme di matrici); cos'ha d'intuitivo questa distanza? A livello fisico nulla, concettualmente dice che due oggetti distinti hanno sempre distanza \(1\)!
Più in generale posso scegliere i sottoinsiemi aperti di un insieme qualunque così da definire una topologia e sbizzarrirmi col concetto di intorno.
Spero di non averti confuso le idee, se vuoi un esempio classico ma non banale con le matrici ti lascio questo link.
P.S.: Il giorno che riuscirò a immaginarmi un intorno di matrici che non siano di tipo \(1\times1\) mi dovrò iniziare a preoccupare di brutto...
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