Funzione continua a tratti
ciao, qualcuno mi potrebbe aiutare a capire come si svolge questo esercizio?
al variare del parametro $α ∈ RR $ si studi la continuità e si classifichino gli eventuali punti di discontinuità della
funzione $f_α : (−pi/4, +∞) → RR$ definita nel seguente modo:
$ { (( x^(cosx)log(1+sin^2(α +x))+α):x>0 ),( (1-α): x=0 ),( (tanx-asinx)/(x-x^2): -pi/4
Ho fatto il limite $x->0^+ $ di $x^(cosx)log(1+sin^2(α +x))+α)$ e ho ottenuto $α$
poi ho fatto il limite $x->0^-$ di $(tanx-asinx)/(x-x^2)$ e ho ottenuto $1-α$
Ho quindi posto $α = 1-α$, significa quindi che ad $α = 1/2$ la funzione è continua
è giusto il mio approccio fino a qui? come dovrei andare avanti?
al variare del parametro $α ∈ RR $ si studi la continuità e si classifichino gli eventuali punti di discontinuità della
funzione $f_α : (−pi/4, +∞) → RR$ definita nel seguente modo:
$ { (( x^(cosx)log(1+sin^2(α +x))+α):x>0 ),( (1-α): x=0 ),( (tanx-asinx)/(x-x^2): -pi/4
Ho fatto il limite $x->0^+ $ di $x^(cosx)log(1+sin^2(α +x))+α)$ e ho ottenuto $α$
poi ho fatto il limite $x->0^-$ di $(tanx-asinx)/(x-x^2)$ e ho ottenuto $1-α$
Ho quindi posto $α = 1-α$, significa quindi che ad $α = 1/2$ la funzione è continua
è giusto il mio approccio fino a qui? come dovrei andare avanti?
Risposte
Se hai fatto i conti giusti (non li ho guardati), dovrebbe essere corretto.
Mi intrometto un secondo per dire come ho fatto io.
Marco, che è uno dei miei mentori sul forum, mi correggerà.
Hai fatto tutto correttamente, questa tipologia di esercizio è molto molto comune: la continuità la devi studiare sul dominio assegnato, che in questo caso è un intervallo limitato a sinistra e illimitato a destra.
Quindi la continuità è dubbia nel punto di ascissa $x=0$.
L'unico problema è che il limite per $x \to 0^+$ a me viene $0$ e non $\alpha$ siccome quel $x^(cosx) \to 0$ e ti annulla tutto. L'altro limite invece è giusto.
Infine, imponendo l'uguaglianza dei due limiti dovrebbe venire
$1-\alpha=0 rArr \alpha=1$ e quindi il in $x=0$ la nostra funzione vale proprio $0$
E infatti graficando la funzione con geogebra ti accorgi che, per tale valore di $\alpha$, la funzione risulta continua in tutto il suo dominio.
Aspetta il parere di uno degli dei del forum, loro sapranno guidarti sicuramente
Marco, che è uno dei miei mentori sul forum, mi correggerà.
Hai fatto tutto correttamente, questa tipologia di esercizio è molto molto comune: la continuità la devi studiare sul dominio assegnato, che in questo caso è un intervallo limitato a sinistra e illimitato a destra.
Quindi la continuità è dubbia nel punto di ascissa $x=0$.
L'unico problema è che il limite per $x \to 0^+$ a me viene $0$ e non $\alpha$ siccome quel $x^(cosx) \to 0$ e ti annulla tutto. L'altro limite invece è giusto.
Infine, imponendo l'uguaglianza dei due limiti dovrebbe venire
$1-\alpha=0 rArr \alpha=1$ e quindi il in $x=0$ la nostra funzione vale proprio $0$
E infatti graficando la funzione con geogebra ti accorgi che, per tale valore di $\alpha$, la funzione risulta continua in tutto il suo dominio.
Aspetta il parere di uno degli dei del forum, loro sapranno guidarti sicuramente
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