Funzione continua

[piero1987]

Ciao a tutti. Mi potete aiutare a impostare questo esercizio

Determinare a e b in modo che risulti continua la

$ g(x){ ( log(1+x) ),( a sin x +b cos x),( x ):} $

non sono riuscito a scrivere vicino:

$ log(1+x), x in (-1,0] $
$ asinx+bcosx, x in (0,pi /2) $
$ x, x>= pi /2 $

mi date una mano?
grazie

[axpgn]

Giusto. Prosegui ...

[piero1987]

ottengo
$ a*0+b*1=0 $

[axpgn]

Giusto. Prosegui con la semplificazione ed ottieni che ...

[piero1987]

b=0

[axpgn]

Esatto. Adesso rifai tutto il giro per l'altro punto e troverai anche $a$. Ciao

[piero1987]

scusami ti disturbo ancora ma non mi è chiaro quale funzione devo utilizzare adesso

[axpgn]

l'altro punto da rendere "continua" qual è?
quali sono le funzioni a sinistra e a destra di tale punto?
individuate quelle (non è difficile ) rifai lo stesso giro ...

[piero1987]

$ lim_(x -> pi/2) log(1+x) $

[axpgn]

L'altro punto è $pi/2$, ok.
Ma che c'entra il logaritmo lì? Dov'è definito il log? In $(-1,0)$ no? $pi/2$ ti sembra un numero che cade in quell'intervallo?
$pi/2$ non è l'estremo destro (dell'intervallo di definizione) di $asinx+bcosx$ e l'estremo sinistro della funzione $x$?
Quindi ...

[piero1987]

a ok...

$ lim_(x -> pi/2 ) a sin x +bcosx= $
$ lim_(x -> pi/2 ) a sin x +0*cosx= $
$ lim_(x -> pi/2 ) a *sin x = $

[axpgn]

Quello è SOLO il limite da destra, dove non hai messo il membro di destra, che deve essere uguale al valore della funzione in quel punto; quindi ...
Cmq, prima calcola il valore della funzione, poi il limite da sinistra (che è più facile) e poi questo.

[piero1987]

$ f(pi /2)= a*1+b*0 $

[axpgn]

Ok, questo è il limite di destra. E il resto? Devi comunque verificare anche le altre due condizioni, non puoi andare sulla "fiducia" ...
Ah, e quindi $a$ è uguale a ...

[axpgn]

"piero1987":$ f(pi /2)= a*1+b*0 $

Scusami, ma rettifico una cosa: hai calcolato la funzione, non il limite, ma la funzione in quel punto non si calcola così; quel punto è FUORI da quell'intervallo, appartiene alla "terza funzione".

[piero1987]

quindi f(x) = $pi/2$

perchè però la funzione è fuori intervallo e devo prendere la x della terza?

[axpgn]

Riguardati il TUO post (il primo) e fammi sapere ...

Quella ($asinx+bcosx$) vale in $(0;pi/2)$ cioè estremi ESCLUSI mentre la funzione $x$ vale per $x>=pi/2$, quindi $pi/2$ incluso.

[piero1987]

certo, certo.

quindi abbiamo visto che f(x) = $pi/2$

ora posso fare i limiti :

$ lim_(x -> pi/2) a*sin x +b*cosx= $
$ lim_(x -> pi/2) a*1 +b*0= a1 $

[piero1987]

aspetta ...
forse ho scritto una stupidata : il limite lo devo fare della x.

$ lim_(x -> pi/2)x= pi/2 $

[axpgn]

DEVI calcolarti la funzione in $pi/2$ ...
DEVI calcolarti il limite sinistro in $pi/2$
DEVI calcolarti il limite destro in $pi/2$ (ed eguagliarlo ai valori degli altri due, che presumibilmente saranno uguali tra loro, perché per essere COMTINUA i tre valori devono essere UGUALI)
Comunque, era tutto scritto nei primi post ...

[piero1987]

"axpgn":DEVI calcolarti la funzione in $pi/2$ ... $ f(x)= pi/2 $
DEVI calcolarti il limite sinistro in $pi/2$ $ lim_(x -> pi/2-) x =pi/2 $
DEVI calcolarti il limite destro in $pi/2$ $ lim_(x -> pi/2+) x =pi/2 $ (ed eguagliarlo ai valori degli altri due, che presumibilmente saranno uguali tra loro, perché per essere COMTINUA i tre valori devono essere UGUALI)
Comunque, era tutto scritto nei primi post ...

come faccio ora a trovarmi a?