Funzione continua

[piero1987]

Ciao a tutti. Mi potete aiutare a impostare questo esercizio

Determinare a e b in modo che risulti continua la

$ g(x){ ( log(1+x) ),( a sin x +b cos x),( x ):} $

non sono riuscito a scrivere vicino:

$ log(1+x), x in (-1,0] $
$ asinx+bcosx, x in (0,pi /2) $
$ x, x>= pi /2 $

mi date una mano?
grazie

[axpgn]

Così a occhio sembra $a=pi/2$ e $b=0$ ...
Beh, devi fare in modo che la funzione di mezzo negli estremi dell'intervallo assuma il valore (o meglio, tenda ad assumere) delle altre due in quei punti.
Continuità che significa per te?
Cordialmente, Alex

[piero1987]

"axpgn":
Continuità che significa per te?

Data un funzione f(x) ed un punto x(0) appartenente al dominio D della funzione, la funzione f(x) si dice continua nel punto x0 se $ lim_(x -> x0)f(x)=f(x0) $

[axpgn]

E quindi cosa faresti per verificare queste condizioni?
Quello he hai detto io lo "spaccherei" così:
Esiste la funzione nel punto $x_0$? Quanto vale?
Esiste il limite destro della funzione che tende a $x_0$? Quanto vale?
Esiste il limite sinistro della funzione che tende a $x_0$? Quanto vale?
Questi tre valori sono tutti uguali? Se sì, è continua.

[piero1987]

"axpgn":E quindi cosa faresti per verificare queste condizioni?
Quello he hai detto io lo "spaccherei" così:
Esiste la funzione nel punto $x_0$? Quanto vale?
Esiste il limite destro della funzione che tende a $x_0$? Quanto vale?
Esiste il limite sinistro della funzione che tende a $x_0$? Quanto vale?
Questi tre valori sono tutti uguali? Se sì, è continua.

il mio primo problema è che non capisco quale funzione delle utilizzare?

$ log(1+x) $
oppure $ a sinx +bcosx $ ??

[axpgn]

Scusami, ma nella definizione si parla di "... punto $x_0$ ..., quindi per prima cosa determina qual è questo punto (che poi nel caso in questione sono due i punti); poi qual è la funzione definita in quel punto? Usi quella per il calcolo della prima delle tre "regole di esistenza" che ho citato; qual è la funzione che tende a $x_0$ da destra? qual è la funzione che tende a $x_0$ da sinistra? In ciascun caso usi la funzione appropriata (che nel nostro caso non sarà la stessa ... )

[piero1987]

$ f(0)= log(1)=0 = lim_(x -> 0)f(x) $

faccio la stessa cosa per l'altro punto?

[axpgn]

Dopo che hai finito questo ...
Dove sono i limiti destro e sinistro ? o meglio dov'è quello destro? mettili tutti e due ... e vedi che ...

[piero1987]

"axpgn":Dopo che hai finito questo ...
Dove sono i limiti destro e sinistro ? o meglio dov'è quello destro? mettili tutti e due ... e vedi che ...

$ lim_(x -> 0+) log(1+x)=0 $
$ lim_(x -> 0-) log(1+x)=0 $

[axpgn]

Eh no! Il limite destro non lo puoi calcolare così; la funzione da quel lato NON si calcola così ...

[piero1987]

Non capisco...

[axpgn]

Scusami, ma la funzione nell'intervallo $(0,pi/2)$ non è definita così $asin(x)+bcos(x)$ ?
Quindi, quando la $x$ "si avvicina" a zero da quel lato (cioè assume valori tipo $0.1, 0.01, 0.001,$ ecc) per calcolare il valore che assume la funzione tu DEVI utilizzare quest'espressione, non quella con il logaritmo, che li non vale; chiaro?

[piero1987]

ma quando faccio il limite per log(1+x) non devo prendere in considerazione solo l'intervallo (-1,0)?

[axpgn]

Allora hai detto che devi calcolare il limite in un punto ed è giusto. Il punto in questione è $0$.
La funzione in quel punto la calcoli con il logaritmo perché in quel punto così è definita.
Quando calcolo il limite in un punto NON è necessario che la funzione in quel punto sia definita (anzi spesso lo si fa proprio per questo); quello che fai, calcolando il limite, è trovare il comportamento della funzione "all'avvicinarsi" della funzione a quel punto.
Ora, nel nostro caso, la funzione quando si avvicina a $0$ ha due comportamenti diversi: quando si avvicina da sinistra, cioè per valori inferiori allo zero, DEVI utilizzare quella col logaritmo, perché per valori negativi QUELLA vale; quando si avvicina da destra, cioè per valori superiori allo zero, , DEVI utilizzare quella con sen e cos, perché per valori positivi QUELLA vale. Chiaro?

[piero1987]

a quindi per il $ lim_(x -> x0+) $ devo utilizzare $ lim_(x -> pi /2) a sin x +bcos x $ ?

[axpgn]

Stavo per dire sì, quando ho notato quel $pi/2$ ....???? Stai calcolando il limite per $x_0 -> 0$ che c'entra quello?
La funzione è quella ma il punto è sempre $x_0=0$: stiamo ancora lavorando su quello ...

[piero1987]

a ok ok certo..
quando vado a fare il $ lim_(x -> 0+) a sinx +bcosx $ che valori do alla a e alla b?

$ lim_(x -> 0+) sinx +cosx =1 $

[axpgn]

"piero1987":quando vado a fare il $ lim_(x -> 0+) a sinx +bcosx $ che valori do alla a e alla b?

E' quello che ti viene richiesto dall'esercizio ...

La funzione non è questa che scrivi:

"piero1987":$ lim_(x -> 0+) sinx +cosx =1 $

ma questa $ lim_(x -> 0+) a*sinx +b*cosx = 0 $
Attenzione, l'ho eguagliata a zero perché quello è il valore che assume la funzione in quel punto e noi DOBBIAMO trovare quei valori di $a$ e $b$ che rendano il limite uguale alla funzione (per il limite sx già è così, per quello destro dobbiamo appunto trovare i valori che lo facciano diventare ...)

Comunque quando $x$ tende a $0$, allora $sinx$ diventa $0$ e $cosx$ diventa $1$, sostituisci in quella che ho detto e trovi ...

[piero1987]

"axpgn":

Comunque quando $x$ tende a $0$, allora $sinx$ diventa $0$ e $cosx$ diventa $1$, sostituisci in quella che ho detto e trovi ...

Scusami, non ho capito dove devo sostituire ...

[axpgn]

Dunque, abbiamo detto che l'espressione sulla quale dobbiamo lavorare è questa $ lim_(x -> 0+) a*sinx +b*cosx = 0 $.
Quando $x$ tende a $0$, allora diventa $sinx=0$, quindi al posto di $sinx$ metterai ... cosa? Lo stesso procedimento per $cosx$ che quando $x$ tende a $0$ diventa $cosx=1$, quindi al posto di $cosx$ metterai ...
Alla fine trovi un'espressione dove ti rimangono solo i parametri. E poi fai lo stesso per l'altro punto ...

[piero1987]

"axpgn":
Quando $x$ tende a $0$, allora diventa $sinx=0$, quindi al posto di $sinx$ metterai ... cosa?

zero...