Funzione composta
Salve,
Avrei un dubbio riguardo la definizione di funzione composta.
Date due funzioni f di X in Y e g di Y in Z, la funzione composta g composto f è definita come g(f(x)) di X in Z.
Ciò che mi chiedo è:
La funzione g deve prendere elementi dall'insieme Y, ed essendo una funzione, ad ogni elemento di Y deve associare uno ed un solo valore in Z; ma se l'insieme delle immagini di f, f(X) non coincidesse con l'insieme Y, allora come potrebbe g, prendere ogni elemento di Y? Non si dovrebbe definire la funzione composta dicendo che f deve essere suriettiva? Altrimenti che valori dovrebbe prendere g da Y?
Avrei un dubbio riguardo la definizione di funzione composta.
Date due funzioni f di X in Y e g di Y in Z, la funzione composta g composto f è definita come g(f(x)) di X in Z.
Ciò che mi chiedo è:
La funzione g deve prendere elementi dall'insieme Y, ed essendo una funzione, ad ogni elemento di Y deve associare uno ed un solo valore in Z; ma se l'insieme delle immagini di f, f(X) non coincidesse con l'insieme Y, allora come potrebbe g, prendere ogni elemento di Y? Non si dovrebbe definire la funzione composta dicendo che f deve essere suriettiva? Altrimenti che valori dovrebbe prendere g da Y?
Risposte
Se siamo d'accordo che $f$ manda $x$ in $Y$, allora dovremmo anche essere d'accordo che a $g$ viene dato in pasto $f(x)inY$. Non vedo dove stia il problema. $f(x)$ sicuramente appartiene a $Y$ per cui $g$ lo manda in $Z$ senza pensieri 
Cosa ti importa poi di dove vengano mandati i punti $yinY$ che non sono immagine di nessuna $x inX$? Semplicemente saranno ignorati dalla composizione.
Vedila così: $f$ porta $x$ in $Y$, $g$ porta $f(x)$ in $Z$. Questo non significa che $g$ non porti gli altri punti del suo dominio a destinazione, solo, non sono interessato a quello nella mia definizione di composizione.
Cosa ti importa poi di dove vengano mandati i punti $yinY$ che non sono immagine di nessuna $x inX$? Semplicemente saranno ignorati dalla composizione.
Vedila così: $f$ porta $x$ in $Y$, $g$ porta $f(x)$ in $Z$. Questo non significa che $g$ non porti gli altri punti del suo dominio a destinazione, solo, non sono interessato a quello nella mia definizione di composizione.
Ci sono due scuole di pensiero. Prima scuola (classica): si richiede che l'immagine di $f$ sia contenuta nel domino di $g$. Seconda scuola (meno classica, ma e' la mia preferita): non si richiede nulla; se l'immagine di $f$ e' contenuta nel domino di $g$ ok, altrimenti la composizione viene la funzione vuota, che esiste secondo la teoria degli insiemi.
"Weierstress":
Se siamo d'accordo che $f$ manda $x$ in $Y$, allora dovremmo anche essere d'accordo che a $g$ viene dato in pasto $f(x)inY$. Non vedo dove stia il problema. $f(x)$ sicuramente appartiene a $Y$ per cui $g$ lo manda in $Z$ senza pensieri
Cosa ti importa poi di dove vengano mandati i punti $yinY$ che non sono immagine di nessuna $x inX$? Semplicemente saranno ignorati dalla composizione.
Vedila così: $f$ porta $x$ in $Y$, $g$ porta $f(x)$ in $Z$. Questo non significa che $g$ non porti gli altri punti del suo dominio a destinazione, solo, non sono interessato a quello nella mia definizione di composizione.
Quindi per la definizione di funziona composta ci interessano solo gli argomenti di g che hanno controimmagine/i in X.
Quello che penso è, allora non si potrebbe scrivere direttamente, siano:
f : X in f(X)
g: f(X) in Z ??
Scritte così sembra più facile vedere cosa prende g, nel caso della composizione.
Grazie.
"Luca.Lussardi":
Seconda scuola (meno classica, ma e' la mia preferita): non si richiede nulla; se l'immagine di $f$ e' contenuta nel domino di $g$ ok, altrimenti la composizione viene la funzione vuota, che esiste secondo la teoria degli insiemi.
Non c'è alcuna ragione di pensare che la funzione vuota sia speciale o meno degna; ma ho idea tu non volessi scrivere questo, e che tu faccia confusione tra due categorie piuttosto diverse.
Nella categoria degli insiemi una funzione è (in particolare) il dato del suo dominio, per cui "l'insieme dei valori dove $f$ è definita" coincide con "il dominio di "f" per ogni funzione $f : X \to Y$.
Nella categoria degli insiemi e funzioni parziali, al contrario, un morfismo è il dato di un sottoinsieme del dominio di una funzione $f : X \to Y$; cosicché il fenomeno che descrivi (ossia il fatto che \(\text{trg}(f)\cap \text{src}(g) = \varnothing\) per due funzioni componibili $f,g$) può verificarsi. Ma in questo non c'è alcun problema: la composizione delle due funzioni parziali è la funzione vuota, e in ciò non esiste alcuna scelta classica o non classica, l'unica definizione possibile è cogente per il semplice fatto che tu vuoi che questa classe sia una categoria.
La categoria degli insiemi e funzioni parziali tuttavia è estremamente diversa da quella delle funzioni totali: riesci a intuirne il motivo?
"AnalisiZero":
Quello che penso è, allora non si potrebbe scrivere direttamente, siano:
f : X in f(X)
g: f(X) in Z ??
Perché porsi il problema? $g$ è definita su un insieme $Y$. Poi valgono le considerazioni fatte sopra.
"AnalisiZero":un po confuso, mi unisco in parte a quanto detto dal @Luca.Lussardi mettendo un pizzico in più alla questione fissato io col vedere tutto puramente insiemisticamente (o klassi ovunque)... la composizione di funzione è composizione di relazioni prima di tutto, non esistono casi eslcusi, a dire il vero è un'operazione tra relazioni[nota]se la vogliamo dirla tutta si definisce anche tra insiemi o klassi qualsiasi non per forza relazioni[/nota] che si chiama "[_url=https://en.wikipedia.org/wiki/Implementation_of_mathematics_in_set_theory#Related_definitions:3o2x726h]prodotto relativo[/_url:3o2x726h]"[nota]che strano titolo di pagina
Salve,
Avrei un dubbio riguardo la definizione di funzione composta.
Date due funzioni f di X in Y e g di Y in Z, la funzione composta g composto f è definita come g(f(x)) di X in Z.
Ciò che mi chiedo è:
La funzione g deve prendere elementi dall'insieme Y, ed essendo una funzione, ad ogni elemento di Y deve associare uno ed un solo valore in Z; ma se l'insieme delle immagini di f, f(X) non coincidesse con l'insieme Y, allora come potrebbe g, prendere ogni elemento di Y? Non si dovrebbe definire la funzione composta dicendo che f deve essere suriettiva? Altrimenti che valori dovrebbe prendere g da Y?
ma posso capire..[/nota] (fai attenzione a come definisce una relazione e noterai che non occorrono chissá quali condizioni particolari e tanto meno solo funzioni componibili o meno, puoi fare esempi con solo insiemi in senso generale), peccato che cliccando su "relative product" ti linka alla solita noiosa def. di composizione tralasciando tutto il divertimento.
Sì, il "prodotto relativo" è esattamente la composizione di due relazioni, di cui le funzioni sono un caso particolare.
"killing_buddha":
Non c'è alcuna ragione di pensare che la funzione vuota sia speciale o meno degna; ma ho idea tu non volessi scrivere questo, e che tu faccia confusione tra due categorie piuttosto diverse.
Infatti io non ritengo assolutamente meno degna la funzione vuota, anzi e' proprio il contrario. Non credo di avere le idee confuse, semplicemente lascio volentieri la teoria delle categorie ai bourbakisti e rimango sulla teoria degli insiemi: per me una funzione e' una particolare relazione, e come tale posso comporre due funzioni qualsiasi. Questo mi basta.
lascio volentieri la teoria delle categorie ai bourbakisti e rimango sulla teoria degli insiemi
Hai le idee piuttosto confuse sui bourbakisti, sulla teoria delle categorie e sul suo rapporto con la teoria degli insiemi
Quel che ho detto io è che non è vero che "ci sono due scuole". in Set c'è solo una definizione possibile per la composizione di funzioni, e il problema posto da OP non esiste perché una funzione ha sempre dominio totale.
Nella categoria degli insiemi e funzioni parziali, quelle cioè definite solo su un sottoinsieme del loro dominio, invece, è ben possibile che il dominio dell'una funzione sia disgiunto dalla immagine dell'altra; in tal caso la composizione è la funzione vuota, ovvero quella (unica) che ha dominio vuoto.
Tuttavia (sia per te, che ho l'impressione non abbia chiaro questo punto, che per l'OP) è importante capire due cose:
1. in pSet la funzione $\log : \mathbb R \to \mathbb R$ è diversa dalla funzione $\log : \mathbb R \setminus \{0\} \to \mathbb R$ nel senso che è davvero una funzione diversa a tutti gli effetti sebbene le due facciano la stessa cosa su tutti gli elementi di $\mathbb R$ dove sono definite: una funzione è una terna, e due terne sono uguali se e solo se coincidono coordinata per coordinata. In sintesi, pSet contiene Set ma è enormemente più grande (prova a pensare: quanto?)
2. Ti invito caldamente a provare a dimostrare che pSet e Set sono molto diverse (e a capire in che senso). Anche un argomento informale va bene, ma lo trovo un esercizio istruttivo su un punto fondamentale, che non è mai tardi per fissare in mente una volta per tutte.
3. Una terza cosa che è emersa è che sei convinto che la teoria delle categorie esista come "opposta" alla fondazione insiemistica. Questo è falso. La teoria delle categorie non ha (quasi) nulla di fondazionale, è solo il modo corretto di pensare agli oggetti della matematica. E corretto, qui, ha un valore tecnico: il punto di vista categoriale derubrica a un inutile bizantinismo la teoria delle "condizioni di esistenza" per funzioni (una funzione esiste dove è definita, e più non dimandare). Il tuo confonde due oggetti matematici profondamente distinti (e che devono restarlo, pena la confusione che ha generato il suddetto bizantinismo di cui sono vittima legioni di studenti).
Nella categoria degli insiemi e funzioni parziali, quelle cioè definite solo su un sottoinsieme del loro dominio, invece, è ben possibile che il dominio dell'una funzione sia disgiunto dalla immagine dell'altra; in tal caso la composizione è la funzione vuota, ovvero quella (unica) che ha dominio vuoto.
Tuttavia (sia per te, che ho l'impressione non abbia chiaro questo punto, che per l'OP) è importante capire due cose:
1. in pSet la funzione $\log : \mathbb R \to \mathbb R$ è diversa dalla funzione $\log : \mathbb R \setminus \{0\} \to \mathbb R$ nel senso che è davvero una funzione diversa a tutti gli effetti sebbene le due facciano la stessa cosa su tutti gli elementi di $\mathbb R$ dove sono definite: una funzione è una terna, e due terne sono uguali se e solo se coincidono coordinata per coordinata. In sintesi, pSet contiene Set ma è enormemente più grande (prova a pensare: quanto?)
2. Ti invito caldamente a provare a dimostrare che pSet e Set sono molto diverse (e a capire in che senso). Anche un argomento informale va bene, ma lo trovo un esercizio istruttivo su un punto fondamentale, che non è mai tardi per fissare in mente una volta per tutte.
3. Una terza cosa che è emersa è che sei convinto che la teoria delle categorie esista come "opposta" alla fondazione insiemistica. Questo è falso. La teoria delle categorie non ha (quasi) nulla di fondazionale, è solo il modo corretto di pensare agli oggetti della matematica. E corretto, qui, ha un valore tecnico: il punto di vista categoriale derubrica a un inutile bizantinismo la teoria delle "condizioni di esistenza" per funzioni (una funzione esiste dove è definita, e più non dimandare). Il tuo confonde due oggetti matematici profondamente distinti (e che devono restarlo, pena la confusione che ha generato il suddetto bizantinismo di cui sono vittima legioni di studenti).
La speculazione non fa per me, mi dispiace. Sono convinto che l'autore del topic rabbrividisca a sentir parlare di pset e set, stiamo coi piedi per terra davanti agli studenti, poi chi vuol fare questi voli e' liberissimo di farli.
Non è speculazione, è buon senso. E non vedo il motivo per piegare il buon senso ai brividi di un discente. Che tremi pure, è la febbre che fa crescere le ossa.
Non hai colto il punto. Io sono venuto incontro ad una domanda posta da uno studente, presumibilmente al primo anno. Le scuole di cui parlavo si riferiscono al modo di approcciare queste questioni: c'e' chi compone le funzioni affermando che si puo' fare sotto opportune condizioni, c'e' chi compone le funzioni senza condizioni. Questi due modi sono didattici e adatti al primo anno entrambi. E' sicuramente vero quanto hai detto tu, ma non e' la sede per mostrare questo: uno non va a dire ad un bimbo della scuola elementare che dovrebbe fare l'integrale per calcolare l'area del rettangolo.
Nemmeno tu hai colto il punto (che sommariamente è: semplificare abbastanza da rendere digeribile una nozione la travisa e spesso genera incomprensioni che nessuno si cura, mai, di correggere anche da "adulti"), però ormai l'età mi ha insegnato che non importa; se vuoi, fai l'esercizio che ti ho lasciato. Faccio fatica a credere che uno che ha un dottorato in matematica faccia confusione tra funzioni e funzioni parziali.
Qui preferisco aiutare gli studenti in difficolta'. Ho un dottorato e non avevo mai sentito parlare di funzioni parziali. Pazienza, nessuno e' perfetto del resto.
Giusto per dovere di cronaca mi sono informato sulla differenza tra funzione e funzione parziale... scoprendo che cio' che io intendo per funzione e' cio' che viene chiamata (anche se non l'ho mai sentito) funzione parziali.
Ho visto, curioso, per altro per me gli insiemi non sono mai assegnati all'inzio. Per me una relazione $R$ e' solo un insieme di coppie ordinate $(x,y)$, gli elementi di queste coppie non necessariamente dichiarati appartenenti a qualche insieme. Una funzione $f$ e' una relazione tale che $xfy \wedge xfz \Rightarrow y=z$. Da questa definizione uno costruisce due insiemi chiamati dominio di $f$ e immagine di $f$.
gli elementi di queste coppie non necessariamente dichiarati appartenenti a qualche insieme.
...Hai mai fatto un corso di logica?
Certo, un corso di logica e teoria degli insiemi...
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