Funzione composta
Salve,
Avrei un dubbio riguardo la definizione di funzione composta.
Date due funzioni f di X in Y e g di Y in Z, la funzione composta g composto f è definita come g(f(x)) di X in Z.
Ciò che mi chiedo è:
La funzione g deve prendere elementi dall'insieme Y, ed essendo una funzione, ad ogni elemento di Y deve associare uno ed un solo valore in Z; ma se l'insieme delle immagini di f, f(X) non coincidesse con l'insieme Y, allora come potrebbe g, prendere ogni elemento di Y? Non si dovrebbe definire la funzione composta dicendo che f deve essere suriettiva? Altrimenti che valori dovrebbe prendere g da Y?
Avrei un dubbio riguardo la definizione di funzione composta.
Date due funzioni f di X in Y e g di Y in Z, la funzione composta g composto f è definita come g(f(x)) di X in Z.
Ciò che mi chiedo è:
La funzione g deve prendere elementi dall'insieme Y, ed essendo una funzione, ad ogni elemento di Y deve associare uno ed un solo valore in Z; ma se l'insieme delle immagini di f, f(X) non coincidesse con l'insieme Y, allora come potrebbe g, prendere ogni elemento di Y? Non si dovrebbe definire la funzione composta dicendo che f deve essere suriettiva? Altrimenti che valori dovrebbe prendere g da Y?
Risposte
"Weierstress":
[quote="AnalisiZero"]Quello che penso è, allora non si potrebbe scrivere direttamente, siano:
f : X in f(X)
g: f(X) in Z ??
Perché porsi il problema? $g$ è definita su un insieme $Y$. Poi valgono le considerazioni fatte sopra.[/quote]
Ho capito, quindi devo semplicemente , nel caso della composizione , ignorare le altre y che appartengono a Y, non escluso che comunque vengano considerate, dalla funzione g in generale.
Grazie
Mah, secondo me è almeno intuitivamente corretto metterla in questi termini, poi tra tutti questi ricercatori e professori che discutono tra loro di insiemi e categorie temo di fare figuracce intervenendo ulteriormente 
Diciamo che la parola ignorare rende l'idea ma non la userei troppo liberamente, soprattutto in vista di un esame orale... basta tenere a mente che $f(X)subeY$ (salvo casi patologici discussi sopra) e quindi nella composizione si ha $x rarr f(x) rarr g(f(x))$.
Diciamo che la parola ignorare rende l'idea ma non la userei troppo liberamente, soprattutto in vista di un esame orale... basta tenere a mente che $f(X)subeY$ (salvo casi patologici discussi sopra) e quindi nella composizione si ha $x rarr f(x) rarr g(f(x))$.
Non fai nessuna figuraccia, l'ordinaria amministrazione ovviamente pretende quella condizione. Solo, l'occasione per riflettere su cosa avviene in situazioni meno ordinarie c'era, e la definizione (didattica, da analisi 1 comunque) insiemistica di funzione offre spunti interessanti.
@AnalisiZero,
ma si dai, ritornando al tuo post originale, in analisi 1 si richiede quasi sempre che date due funzioni \(f: A \to B\) e \(g: C\to D\) queste per valutare la loro composizione siano componibili ovvero \(\operatorname{Im}(f) \subseteq \operatorname{dom}(g)\) ed è la condizione che impone un "buon" testo come il Pagani-Salsa
se poi hai \(\operatorname{Im}(f) = \operatorname{dom}(g)\) ancora meglio per cosí dire. Certo, cosí si perdono o non si trattano casi ulteriori dove ad esempio solo \(\operatorname{Im}(f) \supseteq \operatorname{dom}(g)\).. facciamo alcuni esempi mooooolto elementari per cogliere come funziona:
1) prendiamo \(f=\{(1,3),(2,3)\}\) e \( g=\{(3,1),(4,0)\}\), ovviamente \(\{3\}=\operatorname{Im}(f) \subseteq \operatorname{dom}(g)=\{3,4\}\) ed \((g\circ f)=\{(1,1),(2,1)\}\)
2) prendiamo \(f=\{(0,1),(3,5),(4,2),(8,\emptyset)\}\) e \( g=\{(\emptyset,1),(5,\pi)\}\), ovviamente \(\{1,5,2,\emptyset\}=\operatorname{Im}(f) \supseteq \operatorname{dom}(g)=\{\emptyset,5\}\) ed \((g\circ f)=\{(8,1),(3,\pi)\}\)
3) prendiamo \(f=\{(12,7),(\mathcal{P}(\emptyset),5),(\pi e,2),(8,\emptyset)\}\) e \( g=\{(\emptyset,1),(5,\pi),(e,\pi)\}\), ovviamente \(\{7,5,2,\emptyset\}=\operatorname{Im}(f)\substack{ \nsupseteq \\ \nsubseteq} \operatorname{dom}(g)=\{\emptyset,5,e\}\) tuttavia \((g\circ f)=\{(8,1),(\mathcal{P}(\emptyset),\pi)\}\)
certo nel caso 2) e 3) si ha che \(\operatorname{dom}((g\circ f))\subseteq \operatorname{dom}(f)\) (proprietá generale), mentre nel caso 1) \(\operatorname{dom}((g\circ f))= \operatorname{dom}(f)\).. prova a valutare in tutti i tre i casi \((f\circ g)\) se ti va di fare pratica!
ma si dai, ritornando al tuo post originale, in analisi 1 si richiede quasi sempre che date due funzioni \(f: A \to B\) e \(g: C\to D\) queste per valutare la loro composizione siano componibili ovvero \(\operatorname{Im}(f) \subseteq \operatorname{dom}(g)\) ed è la condizione che impone un "buon" testo come il Pagani-Salsa
se poi hai \(\operatorname{Im}(f) = \operatorname{dom}(g)\) ancora meglio per cosí dire. Certo, cosí si perdono o non si trattano casi ulteriori dove ad esempio solo \(\operatorname{Im}(f) \supseteq \operatorname{dom}(g)\).. facciamo alcuni esempi mooooolto elementari per cogliere come funziona:
1) prendiamo \(f=\{(1,3),(2,3)\}\) e \( g=\{(3,1),(4,0)\}\), ovviamente \(\{3\}=\operatorname{Im}(f) \subseteq \operatorname{dom}(g)=\{3,4\}\) ed \((g\circ f)=\{(1,1),(2,1)\}\)
2) prendiamo \(f=\{(0,1),(3,5),(4,2),(8,\emptyset)\}\) e \( g=\{(\emptyset,1),(5,\pi)\}\), ovviamente \(\{1,5,2,\emptyset\}=\operatorname{Im}(f) \supseteq \operatorname{dom}(g)=\{\emptyset,5\}\) ed \((g\circ f)=\{(8,1),(3,\pi)\}\)
3) prendiamo \(f=\{(12,7),(\mathcal{P}(\emptyset),5),(\pi e,2),(8,\emptyset)\}\) e \( g=\{(\emptyset,1),(5,\pi),(e,\pi)\}\), ovviamente \(\{7,5,2,\emptyset\}=\operatorname{Im}(f)\substack{ \nsupseteq \\ \nsubseteq} \operatorname{dom}(g)=\{\emptyset,5,e\}\) tuttavia \((g\circ f)=\{(8,1),(\mathcal{P}(\emptyset),\pi)\}\)
certo nel caso 2) e 3) si ha che \(\operatorname{dom}((g\circ f))\subseteq \operatorname{dom}(f)\) (proprietá generale), mentre nel caso 1) \(\operatorname{dom}((g\circ f))= \operatorname{dom}(f)\).. prova a valutare in tutti i tre i casi \((f\circ g)\) se ti va di fare pratica!
"garnak.olegovitc":
@AnalisiZero,
ma si dai, ritornando al tuo post originale, in analisi 1 si richiede quasi sempre che date due funzioni \(f: A \to B\) e \(g: C\to D\) queste per valutare la loro composizione siano componibili ovvero \(\operatorname{Im}(f) \subseteq \operatorname{dom}(g)\) ed è la condizione che impone un "buon" testo come il Pagani-Salsa
se poi hai \(\operatorname{Im}(f) = \operatorname{dom}(g)\) ancora meglio per cosí dire. Certo, cosí si perdono o non si trattano casi ulteriori dove ad esempio solo \(\operatorname{Im}(f) \supseteq \operatorname{dom}(g)\).. facciamo alcuni esempi mooooolto elementari per cogliere come funziona:
1) prendiamo \(f=\{(1,3),(2,3)\}\) e \( g=\{(3,1),(4,0)\}\), ovviamente \(\{3\}=\operatorname{Im}(f) \subseteq \operatorname{dom}(g)=\{3,4\}\) ed \((g\circ f)=\{(1,1),(2,1)\}\)
2) prendiamo \(f=\{(0,1),(3,5),(4,2),(8,\emptyset)\}\) e \( g=\{(\emptyset,1),(5,\pi)\}\), ovviamente \(\{1,5,2,\emptyset\}=\operatorname{Im}(f) \supseteq \operatorname{dom}(g)=\{\emptyset,5\}\) ed \((g\circ f)=\{(8,1),(3,\pi)\}\)
3) prendiamo \(f=\{(12,7),(\mathcal{P}(\emptyset),5),(\pi e,2),(8,\emptyset)\}\) e \( g=\{(\emptyset,1),(5,\pi),(e,\pi)\}\), ovviamente \(\{7,5,2,\emptyset\}=\operatorname{Im}(f)\substack{ \nsupseteq \\ \nsubseteq} \operatorname{dom}(g)=\{\emptyset,5,e\}\) tuttavia \((g\circ f)=\{(8,1),(\mathcal{P}(\emptyset),\pi)\}\)
certo nel caso 2) e 3) si ha che \(\operatorname{dom}((g\circ f))\subseteq \operatorname{dom}(f)\) (proprietá generale), mentre nel caso 1) \(\operatorname{dom}((g\circ f))= \operatorname{dom}(f)\).. prova a valutare in tutti i tre i casi \((f\circ g)\) se ti va di fare pratica!
La definizione di quel libro è buona.
Scusa non ho capito se le parentesi delle funzioni sono intervalli o coppie, e cosa rappresentano?
"Weierstress":
Mah, secondo me è almeno intuitivamente corretto metterla in questi termini, poi tra tutti questi ricercatori e professori che discutono tra loro di insiemi e categorie temo di fare figuracce intervenendo ulteriormente
Diciamo che la parola ignorare rende l'idea ma non la userei troppo liberamente, soprattutto in vista di un esame orale... basta tenere a mente che $f(X)subeY$ (salvo casi patologici discussi sopra) e quindi nella composizione si ha $x rarr f(x) rarr g(f(x))$.
Quindi l'insieme delle immagini di X tramite f è sicuramente contenuto in Y, poi a seconda del dominio di g si escluderanno gli f(x), e di conseguenza le x, per cui g non esiste.
"AnalisiZero":non capisco la domanda... la funzione è una relazione prima di tutto (ne ho parlato [_url=https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=26&t=180496&sid=a5de15de540a0d7fe16d17be0e555d32#p8308640:3tn8qaza]qui[/_url:3tn8qaza]) e una relazione è un insieme di coppie ordinate, quindi la funzione è anche un insieme di coppie ordinate...
Scusa non ho capito se le parentesi delle funzioni sono intervalli o coppie, e cosa rappresentano?
"garnak.olegovitc":non capisco la domanda... la funzione è una relazione prima di tutti e una relazione è un insieme di coppie ordinate, quindi la funzione è anche un insieme di coppie ordinate...[/quote]
[quote="AnalisiZero"]
Scusa non ho capito se le parentesi delle funzioni sono intervalli o coppie, e cosa rappresentano?
Ho capito, hai scritto la funzione come insieme delle coppie (x,f(x)).
"AnalisiZero":non capisco la domanda... la funzione è una relazione prima di tutti e una relazione è un insieme di coppie ordinate, quindi la funzione è anche un insieme di coppie ordinate...[/quote]
[quote="garnak.olegovitc"][quote="AnalisiZero"]
Scusa non ho capito se le parentesi delle funzioni sono intervalli o coppie, e cosa rappresentano?
Ho capito, hai scritto la funzione come insieme delle coppie (x,f(x)).[/quote] "esatto"...
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