Funzione analitica olomorfa

[thedarkhero]

Cosa significa che una funzione è analitica e olomorfa in un aperto del piano complesso $Omegasup[a,b]$?

[Seneca1]

Analiticità e olomorfia (di una funzione in un certo aperto) sono nozioni equivalenti. La definizione di olomorfia è data in termini di derivata complessa come limite del rapporto incrementale complesso e si rifà quindi all'impostazione della teoria delle funzioni data da Cauchy. La definizione di analiticità è data in termini di rappresentabilità in serie di potenze, punto di partenza della teoria delle funzioni sviluppata da Weierstrass. Come premettevo, però, le due nozioni si dimostrano essere equivalenti.

Venendo alla tua domanda... Puoi spiegarti meglio?

[thedarkhero]

Se penso al piano complesso come una struttura isomorfa a $RR^2$ un suo aperto deve essere un insieme del tipo $[a,b]x[c,d]$, non $[a,b]$ giusto?
Sempre che $Omega$ sia il piano complesso e $[a,b]$ il suo aperto...altrimenti non avrei capito chi sono questi due oggetti...

[Seneca1]

Ma perché un insieme del tipo $[a,b] \times [c,d]$? Con questa scrittura si indica solitamente un rettangolo chiuso in $RR^2 sim CC$.

[thedarkhero]

Ma se $Omega$ indica l'aperto in cui la funzione è analitica, chi è $[a,b]$?
Comunque mi riferisco alla prima metà di pagina 2 di questa dispensa.

[yellow2]

$[a,b]$ è un intervallo della retta reale, $Omega$ è un aperto del piano che lo contiene. Cos'è che non ti è chiaro? Si sta considerando $RR$ come sottoinsieme di $CC$.

[thedarkhero]

Che ruolo ha $[a,b]$ nel teorema? Il teorema riguarda l'aperto $Omega$, il fatto che ci sia un intervallo della retta reale non ci interessa, giusto?

[yellow2]

No, il teorema riguarda $[a,b]$ ed è valido se attorno ad esso la funzione è olomorfa. Ma non ti ci soffermare più di tanto, non è nemmeno dimostrato, scritta così è più che altro una curiosità.

[thedarkhero]

Tutto chiaro, grazie!