Funzione a variazione limitata dubbio
Una domanda (forse semplicissima).
Ma la funzione $\frac{1}{x}$ in $(0,1)$ è a variazione limitata?
Il mio dubbio è questo. La funzione è monotona nell'intervallo, quindi dovrebbe essere a variazione limitata.
Però so anche che vale che se $f \in C (a,b) $ allora
$$Var[f,(0,1)] = \int_{0}^{1} {|f'(t)|dt} $$
che in questo caso divergerebbe.
Mi dite dove sbaglio, e se la funzione è BV o meno?
Ma la funzione $\frac{1}{x}$ in $(0,1)$ è a variazione limitata?
Il mio dubbio è questo. La funzione è monotona nell'intervallo, quindi dovrebbe essere a variazione limitata.
Però so anche che vale che se $f \in C (a,b) $ allora
$$Var[f,(0,1)] = \int_{0}^{1} {|f'(t)|dt} $$
che in questo caso divergerebbe.
Mi dite dove sbaglio, e se la funzione è BV o meno?
Risposte
"tranesend":
La funzione è monotona nell'intervallo, quindi dovrebbe essere a variazione limitata.
Cosi' detto e' falso se non dici come deve essere fatto l'intervallo, come il tuo esempio mostra (per altro in una variabile le funzioni a variazioni limitata sono limitate): la cosa giusta e' che se $f:[a,b] \to \mathbb R$ e' monotona allora $f$ e' a variazione limitata.
"Luca.Lussardi":
[quote="tranesend"]La funzione è monotona nell'intervallo, quindi dovrebbe essere a variazione limitata.
Cosi' detto e' falso se non dici come deve essere fatto l'intervallo, come il tuo esempio mostra (per altro in una variabile le funzioni a variazioni limitata sono limitate): la cosa giusta e' che se $f:[a,b] \to \mathbb R$ e' monotona allora $f$ e' a variazione limitata.[/quote]
Ok quindi deduco che in $(0,1)$ la funzione $\frac{1}{x}$ non è a variazione limitata.
No, non lo e'.
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