Funzione a tratti
Ciao , perchè nella definizione di una funzione a tratti viene usato il simbolo della parentesi graffa ? Per intenderci lo stesso usato nei sistemi di equazioni .
Quale è il suo significato nel caso di funzioni a tratti ?
Grazie
Quale è il suo significato nel caso di funzioni a tratti ?
Grazie
Risposte
Perchè le funzioni definite a tratti sono funzioni il cui comportamento varia da intervallo ad intervallo e quindi viene scritto come unione (la parentesi graffa, detta in modo poco formale, sta ad indicare il fatto che quelle condizioni sono soddisfatte tutte contemporaneamente) di "sotto-funzioni".
Spero di essermi spiegato bene, rileggendo il mio messaggio non mi sembra..
Spero di essermi spiegato bene, rileggendo il mio messaggio non mi sembra..
Nei sistemi di equazione invece la parentesi graffa sta ad indicare l'intersezione ? Ovvero il fatto che le soluzioni devono contemporaneamente soddisfare tutte le equazioni ?
Quindi nel caso di funzioni a tratti il significato della parentesi è di unione , mentre nei sistemi di equazioni è di intersezione ?
Quindi nel caso di funzioni a tratti il significato della parentesi è di unione , mentre nei sistemi di equazioni è di intersezione ?
mmm...in effetti adesso che me lo fai notare la parentesi graffa indica una intersezione ed il discorso funziona anche per le funzioni definite a tratti. Infatti, un possibile esempio di funzione definita a tratti è :
dove \(\displaystyle g(x),h(x) \) sono delle generiche funzioni (che a noi non interessano). Questo "sistema" definisce una funzione che si comporta come \(\displaystyle g(x) \) se \(\displaystyle x \in [-1,1] \) e si comporta come \(\displaystyle h(x) \) se \(\displaystyle x \in ]-\infty,-1[ \cup ]1,\infty[ \). Adesso, se consideriamo le intersezioni tra i vari insiemi ci rendiamo conto che :
quindi effettivamente possiamo sempre considerare la graffa come un intersezione tra gli "oggetti" che contiene al suo interno.
\(\displaystyle f(x) = \begin{cases} g(x) & \mbox{se } -1 \leq x \leq 1 \\ h(x) & \mbox{se } x<-1 \cup x>1 \end{cases} \)
dove \(\displaystyle g(x),h(x) \) sono delle generiche funzioni (che a noi non interessano). Questo "sistema" definisce una funzione che si comporta come \(\displaystyle g(x) \) se \(\displaystyle x \in [-1,1] \) e si comporta come \(\displaystyle h(x) \) se \(\displaystyle x \in ]-\infty,-1[ \cup ]1,\infty[ \). Adesso, se consideriamo le intersezioni tra i vari insiemi ci rendiamo conto che :
\(\displaystyle [-1,1] \cap ]-\infty,-1[ = \emptyset \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; [-1,1] \cap ]1,\infty[ = \emptyset \)
quindi effettivamente possiamo sempre considerare la graffa come un intersezione tra gli "oggetti" che contiene al suo interno.
Non ho ben capito cosa centra che l'intersezione dei sistemi è l'insieme vuoto con il fatto che la parentesi indica una intersezione
Infatti non c'entra una ceppa.
La notazione per i sistemi di equazioni, ad esempio:
\[
\begin{cases}
f(x) = 0\\
g(x) = 0
\end{cases}
\]
è una notazione contratta e comoda per l'insieme delle soluzioni, cioè, nel caso dell'esempio, una contrazione di:
\[
\Big\{ x\in \mathbb{R}:\ f(x) = 0 \text{ e } g(x) = 0\Big\}\; .
\]
Analoga interpretazione hanno simboli più complessi: ad esempio, nella teoria delle equazioni differenziali, il simbolo usato per il problema di Cauchy:
\[
\begin{cases}
y^\prime (x) = f(x,y(x)) &\text{, internamente ad } I\\
y(x_0) = y_0
\end{cases}
\]
(in cui $f:IxxJ \to \RR$ è nota, continua e "regolare", $x_0\in I$ ed $y_0\in J$ pure sono noti, ed è richiesto di determinare ogni funzione $y:I\to \RR$ con derivata continua in $I$ che soddisfi l'equazione e la condizione iniziale) è una notazione contratta e comoda per denotare l'insieme delle soluzioni, cioè:
\[
\Big\{ y\in C^1(I):\ y^\prime (x) = f(x,y(x)) \text{ per ogni } x\text{ interno ad } I\text{ e } y(x_0)=y_0\Big\}\; .
\]
Nel caso delle funzioni definite per casi (ma non per caso!
), la notazione può essere interpretata in maniera analoga. Ad esempio:
\[
f(x) := \begin{cases} f_1(x) &\text{, se } x\in X_1\\
f_2(x) &\text{, se } x\in X_2
\end{cases}
\]
si può interpretare come l'insieme:
\[
\Big\{ f\in \mathbb{R}^{X_1\cup X_2}:\ f(x)=f_1(x) \text{ se } x\in X_1 \text{ e } f(x)=f_2(x) \text{ se } x\in X_2\Big\}\; ;
\]
tale insieme è evidentemente costituito al più da un unico elemento.
La notazione per i sistemi di equazioni, ad esempio:
\[
\begin{cases}
f(x) = 0\\
g(x) = 0
\end{cases}
\]
è una notazione contratta e comoda per l'insieme delle soluzioni, cioè, nel caso dell'esempio, una contrazione di:
\[
\Big\{ x\in \mathbb{R}:\ f(x) = 0 \text{ e } g(x) = 0\Big\}\; .
\]
Analoga interpretazione hanno simboli più complessi: ad esempio, nella teoria delle equazioni differenziali, il simbolo usato per il problema di Cauchy:
\[
\begin{cases}
y^\prime (x) = f(x,y(x)) &\text{, internamente ad } I\\
y(x_0) = y_0
\end{cases}
\]
(in cui $f:IxxJ \to \RR$ è nota, continua e "regolare", $x_0\in I$ ed $y_0\in J$ pure sono noti, ed è richiesto di determinare ogni funzione $y:I\to \RR$ con derivata continua in $I$ che soddisfi l'equazione e la condizione iniziale) è una notazione contratta e comoda per denotare l'insieme delle soluzioni, cioè:
\[
\Big\{ y\in C^1(I):\ y^\prime (x) = f(x,y(x)) \text{ per ogni } x\text{ interno ad } I\text{ e } y(x_0)=y_0\Big\}\; .
\]
Nel caso delle funzioni definite per casi (ma non per caso!
), la notazione può essere interpretata in maniera analoga. Ad esempio:\[
f(x) := \begin{cases} f_1(x) &\text{, se } x\in X_1\\
f_2(x) &\text{, se } x\in X_2
\end{cases}
\]
si può interpretare come l'insieme:
\[
\Big\{ f\in \mathbb{R}^{X_1\cup X_2}:\ f(x)=f_1(x) \text{ se } x\in X_1 \text{ e } f(x)=f_2(x) \text{ se } x\in X_2\Big\}\; ;
\]
tale insieme è evidentemente costituito al più da un unico elemento.
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