Funzione a più variabili differenziabile?(domanda di teoria)
buongiorno,
il mio problema è questo: se voglio sapere se una funzione a più variabili è continua posso verificare se il valore in quel punto corrisponde al limite in quel punto.
Però dato che fare i limiti è "difficile" uso l'escamotage della DIFFERENZIABILITA' poichè:
differenziabilità implica continuità (1)
Fin qui è giusto il ragionamento??
Ora, mi vien detto che
condizione sufficiente per essere differenziabile è che esistano le derivate parziali (2)
allora unendo la (1) e la (2) posso concludere che
se voglio vedere
se è continua(in xo) guardo se esistono le derivate parziali(in xo). (3)
Eppure sempre il libro mi dice
una funzione può avere tutte le derivate direzionali in un punto(quindi anche quelle parziali) senza essere continua (4)
Come è possibile???
La 3 e la 4 dicono cose opposte!Come fanno ad essere vere contemporaneamnte???
il mio problema è questo: se voglio sapere se una funzione a più variabili è continua posso verificare se il valore in quel punto corrisponde al limite in quel punto.
Però dato che fare i limiti è "difficile" uso l'escamotage della DIFFERENZIABILITA' poichè:
differenziabilità implica continuità (1)
Fin qui è giusto il ragionamento??
Ora, mi vien detto che
condizione sufficiente per essere differenziabile è che esistano le derivate parziali (2)
allora unendo la (1) e la (2) posso concludere che
se voglio vedere
se è continua(in xo) guardo se esistono le derivate parziali(in xo). (3)
Eppure sempre il libro mi dice
una funzione può avere tutte le derivate direzionali in un punto(quindi anche quelle parziali) senza essere continua (4)
Come è possibile???
La 3 e la 4 dicono cose opposte!Come fanno ad essere vere contemporaneamnte???
Risposte
Salve a tutti.io ho studiato la teoria sulla differenziabilità alcune cose mi sono chiare ed altre meno.alcuni esercizi li capisco mentre altri no.ho visto dissonance che sei particolarmente portato e vorrei chiederti di studiarmi la differenziabilità per questa funzione $ sqrt(xy) $ .perche la mia prof prima prova a vedere se le derivate della funzione sono continue in (0,0).Ma dopo aver verificato che le derivate sono uguali procede facendo dei strani limiti per un determinato x segnato.Lei parte dopo aver studiato la continuità delle derivate con questo limite $ lim_(x,y->(0,0))((f(x,y)-P(x,y))/sqrt(x^2+y^2)) $ .spero mi possiate aiutare al più presto che sabato ho una prova scritta.vi ringrazio in anticipo
Ciao salvioc, benvenuto nel forum. Purtroppo di questi messaggi non si capisce praticamente niente. Usa il pulsante MODIFICA per correggerli e renderli leggibili. Fai clic sulla parola formule per istruzioni.
Ciao scusami sono nuovo di questo forum comunque ho corretto sopra il post.spero tu mi possa aiutare nel caso ho anche msn e microfono se ti va di spiegarmi qualcosa direttamente.aspetto tue notizie grazie
Mi spiego meglio non voglio essere svolto tutto l'esercizio.vi spiego cosa ho fatto.purtroppo per quanto riguarda gli esercizi la prof li ha un pò tralasciati o dedicato meno tempo di quanto ce ne voleva ed ora ad una settimana da una prova intercorso ho alcuni dubbi anche su funzioni di 2 variabili abbastanza banali.partiamo con $ sqrt(xy) $ definita nel 1° e 3° quadrante compreso assi.faccio le derivate parziali rispetto a x e rispetto a y e mi ritrovo che le derivate parziali sono continue in $ (R-{0}) $ quindi la funzione è differenziabile in $ (R-{0}) $ .Per quanto riguarda il punto (0,0) vado a fare le derivate lungo gli assi e mi ritrovo $ lim_(x->0) ((f(x,0)-f(0,0))/(x-x_0))=0 $ e lo stesso vale per y $ lim_(y->0) ((f(0,y)-f(0,0))/(y-y_0))=0 $
Ma questo è sufficiente per dire che la funzione è differenziabile?non credo poichè noto che la professoressa ha svolto lo stesso esercizio continuando ma non riesco a capire il nesso logico delle cose che fa...vi elenco di seguito il suo svolgimento.
$ lim_((x,y)->(0,0)) ((f(x,y)-P(x,y))/(sqrt(x^2+y^2)))=(sqrt(xy))/(sqrt(x^2+y^2)) $ con P(x,y)=0
poi fa il limite per un x segnato che io chiamero $x_1 $ $ lim_(x->x_1)((f(x,0)-f(x_1,0))/(x-x_1))=0 $
e dopo procede con quest'altro limite $ lim_(y->0) ((f(x_1,y)-f(x_1,0))/(x-x_1))=(sqrt(x_1y)/(y)) $ e quindi conclude dicendo che la funzione non è differenziabile.spero mi possiate spiegare questi passaggi perchè non ci ho capito tanto.ringrazio anticipatamente
Ma questo è sufficiente per dire che la funzione è differenziabile?non credo poichè noto che la professoressa ha svolto lo stesso esercizio continuando ma non riesco a capire il nesso logico delle cose che fa...vi elenco di seguito il suo svolgimento.
$ lim_((x,y)->(0,0)) ((f(x,y)-P(x,y))/(sqrt(x^2+y^2)))=(sqrt(xy))/(sqrt(x^2+y^2)) $ con P(x,y)=0
poi fa il limite per un x segnato che io chiamero $x_1 $ $ lim_(x->x_1)((f(x,0)-f(x_1,0))/(x-x_1))=0 $
e dopo procede con quest'altro limite $ lim_(y->0) ((f(x_1,y)-f(x_1,0))/(x-x_1))=(sqrt(x_1y)/(y)) $ e quindi conclude dicendo che la funzione non è differenziabile.spero mi possiate spiegare questi passaggi perchè non ci ho capito tanto.ringrazio anticipatamente
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