Funzione a più variabili differenziabile?(domanda di teoria)
buongiorno,
il mio problema è questo: se voglio sapere se una funzione a più variabili è continua posso verificare se il valore in quel punto corrisponde al limite in quel punto.
Però dato che fare i limiti è "difficile" uso l'escamotage della DIFFERENZIABILITA' poichè:
differenziabilità implica continuità (1)
Fin qui è giusto il ragionamento??
Ora, mi vien detto che
condizione sufficiente per essere differenziabile è che esistano le derivate parziali (2)
allora unendo la (1) e la (2) posso concludere che
se voglio vedere
se è continua(in xo) guardo se esistono le derivate parziali(in xo). (3)
Eppure sempre il libro mi dice
una funzione può avere tutte le derivate direzionali in un punto(quindi anche quelle parziali) senza essere continua (4)
Come è possibile???
La 3 e la 4 dicono cose opposte!Come fanno ad essere vere contemporaneamnte???
il mio problema è questo: se voglio sapere se una funzione a più variabili è continua posso verificare se il valore in quel punto corrisponde al limite in quel punto.
Però dato che fare i limiti è "difficile" uso l'escamotage della DIFFERENZIABILITA' poichè:
differenziabilità implica continuità (1)
Fin qui è giusto il ragionamento??
Ora, mi vien detto che
condizione sufficiente per essere differenziabile è che esistano le derivate parziali (2)
allora unendo la (1) e la (2) posso concludere che
se voglio vedere
se è continua(in xo) guardo se esistono le derivate parziali(in xo). (3)
Eppure sempre il libro mi dice
una funzione può avere tutte le derivate direzionali in un punto(quindi anche quelle parziali) senza essere continua (4)
Come è possibile???
La 3 e la 4 dicono cose opposte!Come fanno ad essere vere contemporaneamnte???
Risposte
condizione sufficiente per essere differenziabile è che esistano le derivate parziali (2)
MANACA L'IMPORTANTE PRECISAZIONE :
e che esse siano CONTINUE.
MANACA L'IMPORTANTE PRECISAZIONE :
e che esse siano CONTINUE.
continue nel punto esaminato o continue sempre?
(essere continua solo nel punto che sia esamina credo che equivalga a dire "ESISTERE", mentre essere continua ovunque è un'altra cosa...)
Ti ringrazio per la risposta
(essere continua solo nel punto che sia esamina credo che equivalga a dire "ESISTERE", mentre essere continua ovunque è un'altra cosa...)
Ti ringrazio per la risposta
Ecco il Teorema -Condizione sufficiente ( ma non necessaria ) di differenziabilità di una funzione di $ n $ variabili.
Siano $ f : A sube RR^n rarr RR $, con $A $ aperto e $ vec x_0 in A$ .Supponiamo che le derivate parziali di $f $ esistano in un intorno di $ vec x_0 $e siano continue in $ vec x_0 $ .
Allora $ f $ è differenziabile in $ vec x_0 $.
In particolare, se le derivate parziali di $f $ esistono e sono continue in tutto $A$, allora $ f $ è differenziabile in tutti i punti di $A$.
La sola derivabilità ( cioè esistenza delle derivate parziali ) non è sufficiente a garantire neppure la continuità.
La differenziabilità è una condizione più forte sia della continuità che della derivabilità e da un punto di vista geometrico indica l'esistenza del piano ( iperpiano ) tangente alla superficie di equazione $vec y = f(vec x_0 )$nel punto considerato $vec x_0$.
Siano $ f : A sube RR^n rarr RR $, con $A $ aperto e $ vec x_0 in A$ .Supponiamo che le derivate parziali di $f $ esistano in un intorno di $ vec x_0 $e siano continue in $ vec x_0 $ .
Allora $ f $ è differenziabile in $ vec x_0 $.
In particolare, se le derivate parziali di $f $ esistono e sono continue in tutto $A$, allora $ f $ è differenziabile in tutti i punti di $A$.
La sola derivabilità ( cioè esistenza delle derivate parziali ) non è sufficiente a garantire neppure la continuità.
La differenziabilità è una condizione più forte sia della continuità che della derivabilità e da un punto di vista geometrico indica l'esistenza del piano ( iperpiano ) tangente alla superficie di equazione $vec y = f(vec x_0 )$nel punto considerato $vec x_0$.
Aggiungo a quanto detto da Camillo:
[tex]f(x)=\begin{cases} x^2\sin {1 \over x} & x \ne 0 \\ 0 & x =0 \end{cases}[/tex]
che (salvo errori miei, non ho ricontrollato la formula sto andando a memoria) è derivabile in [tex]0[/tex] con derivata discontinua.
"funny hill":Credi male. Esistono funzioni derivabili in un punto con la derivata discontinua nello stesso. Esempio classico:
(essere continua solo nel punto che sia esamina credo che equivalga a dire "ESISTERE"[...]
[tex]f(x)=\begin{cases} x^2\sin {1 \over x} & x \ne 0 \\ 0 & x =0 \end{cases}[/tex]
che (salvo errori miei, non ho ricontrollato la formula sto andando a memoria) è derivabile in [tex]0[/tex] con derivata discontinua.
per camillo:
tagliamo la testa al toro.
Data una funzione f(x,..,xi) dimmi come fai operativamente:
1)a dire che è derivabile in (x1,...,xn)
2)a dire che è differenziabile in (x1,...,xn)
per dissonance:
potresti spiegaarti meglio?per discontinua intendi che la funzione derivata fa un salto?
tagliamo la testa al toro.
Data una funzione f(x,..,xi) dimmi come fai operativamente:
1)a dire che è derivabile in (x1,...,xn)
2)a dire che è differenziabile in (x1,...,xn)
per dissonance:
potresti spiegaarti meglio?per discontinua intendi che la funzione derivata fa un salto?
"funny hill":Hai provato a fare una ricerca sul forum? Queste cose sono state dette molte volte e puoi trovare materiale in abbondanza.
per camillo:
tagliamo la testa al toro.
Data una funzione f(x,..,xi) dimmi come fai operativamente:
1)a dire che è derivabile in (x1,...,xn)
2)a dire che è differenziabile in (x1,...,xn)
per dissonance:No. Intendo quello che ho detto: [tex]f^\prime[/tex] è definita in [tex]0[/tex] ma non è continua nello stesso. Mai visto una funzione discontinua? Non esistono solo funzioni con discontinuità di salto. Dai un'occhiata a questa pagina: http://www.batmath.it/matematica/a_derivate/darboux.htm
potresti spiegaarti meglio?per discontinua intendi che la funzione derivata fa un salto?
questo argomento è spiegato molto bene.
E tagliamo la testa al toro...
Definizione derivabilità : una funzione $ f: A sube RR^n rarr RR $ è derivabile in un punto del suo dominio se in quel punto esistono tutte le derivate parziali.
Esempio 1) [per semplicità considero funzioni di due variabili] .
$f(x,y)= e^(x^2+y^2 )$
Calcolo con le solite regole le derivate parziali ottenendo $f_x = 2xe^(x^2+y^2)$ ;$ f_y=2ye^(x^2+y^2)$.
Le derivate parziali esistono in tutto $RR^2$, quindi $f $ è ivi derivabile.
Esempio 2 ) $f(x,y)= sqrt(x^2+y^2)$
Bisogna distinguere due casi :
* $(x,y) ne (0,0 )$ ottenendo $f_x= x/sqrt(x^2+y^2) $; $f_y = y/sqrt(x^2+y^2) $. Le derivate parziali esistono .Nell'origine le espressioni trovate per le derivate perdono significato e quindi per calcolarle si deve ricorrere alla definzione .
*$(x,y)=(0,0)$
$f_x(0,0)=lim_(h rarr 0) [f(0+h,0)-f(0,0)]/h=lim_(h rarr 0) sqrt(h^2)/h =lim_(h rarr 0) |h|/h $ e questo limite non esiste ( vale +1 se $h>0 $ mentre vale -1 se $h<0 $).
Stesso discorso per $f_y(0,0) $: non esiste.
Dunque la funzione non è derivabile nell'origine.
La funzione è quindi derivabile in $RR^2$ -$(0,0) $.
Differenziabilità... segue
Definizione derivabilità : una funzione $ f: A sube RR^n rarr RR $ è derivabile in un punto del suo dominio se in quel punto esistono tutte le derivate parziali.
Esempio 1) [per semplicità considero funzioni di due variabili] .
$f(x,y)= e^(x^2+y^2 )$
Calcolo con le solite regole le derivate parziali ottenendo $f_x = 2xe^(x^2+y^2)$ ;$ f_y=2ye^(x^2+y^2)$.
Le derivate parziali esistono in tutto $RR^2$, quindi $f $ è ivi derivabile.
Esempio 2 ) $f(x,y)= sqrt(x^2+y^2)$
Bisogna distinguere due casi :
* $(x,y) ne (0,0 )$ ottenendo $f_x= x/sqrt(x^2+y^2) $; $f_y = y/sqrt(x^2+y^2) $. Le derivate parziali esistono .Nell'origine le espressioni trovate per le derivate perdono significato e quindi per calcolarle si deve ricorrere alla definzione .
*$(x,y)=(0,0)$
$f_x(0,0)=lim_(h rarr 0) [f(0+h,0)-f(0,0)]/h=lim_(h rarr 0) sqrt(h^2)/h =lim_(h rarr 0) |h|/h $ e questo limite non esiste ( vale +1 se $h>0 $ mentre vale -1 se $h<0 $).
Stesso discorso per $f_y(0,0) $: non esiste.
Dunque la funzione non è derivabile nell'origine.
La funzione è quindi derivabile in $RR^2$ -$(0,0) $.
Differenziabilità... segue
grazie mille!
Ho un piccolo problema sull'esempio 2)
1)Tu vuoi differenziare in $(0,0)$; quando vedi che la derivata parziale non è continua in tale puoi SUBITO concludere che non è differerenziabile??("subito" vuol dire senza fare il "test" applicando la definizone!).In caso negativo puoi farmi l'esempio di una funzione con derivata parziale discontinua nel punto ma che scopri essere differenziabile applicando la definizione?
2)riguardo la discontinuità cambia qualcosa se la derivata parziale è discontinua nel punto in modo eliminabile oppure oppure discontinua di seconda specie ( va a ∞ come apunto nel tuo esempio)
Ho un piccolo problema sull'esempio 2)
1)Tu vuoi differenziare in $(0,0)$; quando vedi che la derivata parziale non è continua in tale puoi SUBITO concludere che non è differerenziabile??("subito" vuol dire senza fare il "test" applicando la definizone!).In caso negativo puoi farmi l'esempio di una funzione con derivata parziale discontinua nel punto ma che scopri essere differenziabile applicando la definizione?
2)riguardo la discontinuità cambia qualcosa se la derivata parziale è discontinua nel punto in modo eliminabile oppure oppure discontinua di seconda specie ( va a ∞ come apunto nel tuo esempio)
Esempio 2 )
Punto 1 (tuo) Non so quanto valga la derivata parziale in $(0,0) $ anzi non so nemmeno se esiste in quanto applicando la formula valida fuori dell'origine ottengo una forma indeterminata del tipo $[0/0] $ ; devo quindi sciogliere l'enigma . Come ? Usando la definizione di derivata .
Ovviamente se calcolo $f_x (0,0)$ dovrò far variare la $ x $ mentre la $ y $ la posso porre tranquillamente uguale a $ 0 $, mettendomi così sull' asse $x $ .
Naturalemnte per trovare $f_y(0,0) $ dovrò far variare la $ y $ e porre la $ x $ uguale a $0 $ , mettendomi così sull'asse $y $.
Sarà quindi $f_y(0,0) =lim_(h rarr 0 ) [f(0,0+h)-f(0,0)]/h $ etc etc.
Ecco l'esempio che chiedi :
$f(x,y) = xy/sqrt(x^2+y^2) $ per $(x,y) ne (0,0 )$
$f(x,y)= 0 $ per $(x,y) =(0,0) $.
$f(x,y) $ è derivabile ovunque ??
Se $(x,y) ne (0,0 )$ si ha che essendo $f(x,y) $ composizione di funzioni derivabili è derivabile anch'essa.
Facendo qualche conto si trova $ f_x(x,y)= y^3/(x^2+y^2)^(3/2) $ valida al di fuori dell'origine .
E nell'origine ?
Devo applico la definizione: $f_x(0,0) =lim_(h rarr 0) [f(h,0)-f(0,0)]/h = lim_(h rarr 0) 0/h =0 $ dunque $f_x $ esiste nell'origine e vale $0 $.
Lo stesso risultato si ottiene per $f_y(0,0) )$.
Quindi $f $ è derivabile anche in $(0,0)$ ed è quindi derivabile in tutto $RR^2$.
Punto 2(tuo ) perchè dici che che la derivata parziale va a $oo $ ?? sempre esempio 2 .
è forma indeterminata $0/0$.
Punto 1 (tuo) Non so quanto valga la derivata parziale in $(0,0) $ anzi non so nemmeno se esiste in quanto applicando la formula valida fuori dell'origine ottengo una forma indeterminata del tipo $[0/0] $ ; devo quindi sciogliere l'enigma . Come ? Usando la definizione di derivata .
Ovviamente se calcolo $f_x (0,0)$ dovrò far variare la $ x $ mentre la $ y $ la posso porre tranquillamente uguale a $ 0 $, mettendomi così sull' asse $x $ .
Naturalemnte per trovare $f_y(0,0) $ dovrò far variare la $ y $ e porre la $ x $ uguale a $0 $ , mettendomi così sull'asse $y $.
Sarà quindi $f_y(0,0) =lim_(h rarr 0 ) [f(0,0+h)-f(0,0)]/h $ etc etc.
Ecco l'esempio che chiedi :
$f(x,y) = xy/sqrt(x^2+y^2) $ per $(x,y) ne (0,0 )$
$f(x,y)= 0 $ per $(x,y) =(0,0) $.
$f(x,y) $ è derivabile ovunque ??
Se $(x,y) ne (0,0 )$ si ha che essendo $f(x,y) $ composizione di funzioni derivabili è derivabile anch'essa.
Facendo qualche conto si trova $ f_x(x,y)= y^3/(x^2+y^2)^(3/2) $ valida al di fuori dell'origine .
E nell'origine ?
Devo applico la definizione: $f_x(0,0) =lim_(h rarr 0) [f(h,0)-f(0,0)]/h = lim_(h rarr 0) 0/h =0 $ dunque $f_x $ esiste nell'origine e vale $0 $.
Lo stesso risultato si ottiene per $f_y(0,0) )$.
Quindi $f $ è derivabile anche in $(0,0)$ ed è quindi derivabile in tutto $RR^2$.
Punto 2(tuo ) perchè dici che che la derivata parziale va a $oo $ ?? sempre esempio 2 .
è forma indeterminata $0/0$.
riguardo la tua risposta al punto 1 ti avevo chiesto un esempio in cui:
-funzione con derivata parziale discontinua nel punto ma che scopri essere differenziabile applicando la definizione?
mentre tu hai portato l'esempio di
-funzione con derivata parziale discontinua nel punto ma che scopri essere DERIVABILE applicando la definizione?
infatti il tuo esempio NON è differenziabile nell'origine ma solo derivabile!
Ho concluso questo perchè la derivata parziale esiste MA non è continua nel punto in esame.
quello che mi interessava sapere è se è giusta la seguente affermazione:
"una volta trovato una derivata parziale non continua in (xo,yo) allora la funzione NON è differenziabile in (xo,yo) quindi non c'è più niente da fare nemmeno applicare la definizione
Vorrei inoltre farti notare che nel tuo esempio sarei potuto arrivare alla stessa conclusione( ovvero f derivabile in (0,0) con il corollario del teorema di darboux linkatomi da dissonance cioè funzione derivata con discontinuità eliminabile)
Infine riguardo il mio punto 2 ho detto evidentemente una cazzata!
Ti ringrazio nuovamnete, spero che tu voglia continuare il dibattito
-funzione con derivata parziale discontinua nel punto ma che scopri essere differenziabile applicando la definizione?
mentre tu hai portato l'esempio di
-funzione con derivata parziale discontinua nel punto ma che scopri essere DERIVABILE applicando la definizione?
infatti il tuo esempio NON è differenziabile nell'origine ma solo derivabile!
Ho concluso questo perchè la derivata parziale esiste MA non è continua nel punto in esame.
quello che mi interessava sapere è se è giusta la seguente affermazione:
"una volta trovato una derivata parziale non continua in (xo,yo) allora la funzione NON è differenziabile in (xo,yo) quindi non c'è più niente da fare nemmeno applicare la definizione
Vorrei inoltre farti notare che nel tuo esempio sarei potuto arrivare alla stessa conclusione( ovvero f derivabile in (0,0) con il corollario del teorema di darboux linkatomi da dissonance cioè funzione derivata con discontinuità eliminabile)
Infine riguardo il mio punto 2 ho detto evidentemente una cazzata!
Ti ringrazio nuovamnete, spero che tu voglia continuare il dibattito
Intervengo io su questo punto perché riguarda il "mio" ramo del discorso ("mio" perché l'ho introdotto io, non sono certo il padre di questa teoria 
): la relazione tra continuità delle derivate e differenziabilità.
): la relazione tra continuità delle derivate e differenziabilità. "funny hill":No. Una funzione può tranquillamente essere differenziabile in un punto senza avere le derivate continue nello stesso. Vuoi un esempio? Già la funzione [tex]$f(x)=\begin{cases} x^2\sin{1\over x} & x \ne 0 \\ 0 & x=0 \end{cases}$[/tex] ne fornisce uno: come spiegato dettagliatamente sulla pagina di batmath, questa funzione è derivabile nell'origine con derivata discontinua. Nel caso di funzioni di una variabile, derivabilità e differenziabilità coincidono, quindi ci siamo. Se poi vuoi proprio avere un esempio in dimensione superiore puoi definire [tex]F(x, y)=f(x^2+y^2)[/tex] e verificare che [tex]F[/tex] è differenziabile nell'origine senza avere le derivate continue.
"una volta trovato una derivata parziale non continua in (xo,yo) allora la funzione NON è differenziabile in (xo,yo) quindi non c'è più niente da fare nemmeno applicare la definizione
insomma credo si possa concludere:
"derivata continua nel punto" è condizione sufficiente ma non necessaria per la "differenziabilità" nel punto
"derivata continua nel punto" è condizione sufficiente ma non necessaria per la "differenziabilità" nel punto
Esatto (ma in più dimensioni devi parlare di derivate, non di derivata, a voler essere puntigliosi).
Abbi pazienza, ma la derivata della sopracitata $f(x)$ in $x=0$ spiegata in bathmath non riesco proprio a calcolarla.
Prima dice che si può applicare il Teorema sul limite della derivata ma non capisco perchè dato che il limite della funzione derivata per $x->0$ non esiste poichè la funzione $2xsin(1/x)-cos(1/x)$ non ha limite.
Allo stesso modo non riesco a fare il limite usando "il metodo" del rapporto incrementale:
$lim_(h->0)(f(x+h)-f(x))/h$ =$lim_(h->0)(f(0+h)-f(0))/h$ =$lim_(h->0)(2h*sin(1/h)-cos(1/h))/h$ =$lim_(h->0)(2sin(1/h)-cos(1/h))$
Prima dice che si può applicare il Teorema sul limite della derivata ma non capisco perchè dato che il limite della funzione derivata per $x->0$ non esiste poichè la funzione $2xsin(1/x)-cos(1/x)$ non ha limite.
Allo stesso modo non riesco a fare il limite usando "il metodo" del rapporto incrementale:
$lim_(h->0)(f(x+h)-f(x))/h$ =$lim_(h->0)(f(0+h)-f(0))/h$ =$lim_(h->0)(2h*sin(1/h)-cos(1/h))/h$ =$lim_(h->0)(2sin(1/h)-cos(1/h))$
Ma veramente io leggo
Comunque si tratta di calcolare un limite:
$\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{h^2 \sin (1/h)}{h}=h sin(1/h) \to 0$ quando $h\to0$, perché $0 <=|h sin(1/h)|<=|h| \to 0$.
"batmath":
il teorema sul limite della derivata non è applicabile
Comunque si tratta di calcolare un limite:
$\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{h^2 \sin (1/h)}{h}=h sin(1/h) \to 0$ quando $h\to0$, perché $0 <=|h sin(1/h)|<=|h| \to 0$.
$lim_(h->0)h*sin(1/h)$
si poteva calcolare anche senza i carabinieri...
il problema è che non so da dove salti fuori...potresti dirmi come $2h*sin(1/h)-cos(1/h)$ diventi $h^2*sin(1/h)$?
P.S.: come si fa a quotare?
si poteva calcolare anche senza i carabinieri...
il problema è che non so da dove salti fuori...potresti dirmi come $2h*sin(1/h)-cos(1/h)$ diventi $h^2*sin(1/h)$?
P.S.: come si fa a quotare?
P.S.: come si fa a quotare?Si usa il pulsante "RIPORTA" in alto a destra.
"funny hill":Mi sa che hai confusione mentale sulla definizione stessa di derivata. Si dice che una funzione $f$ definita in un intervallo e a valori reali è derivabile in un punto $x$ se esiste finito il limite del rapporto incrementale $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ per $h\to0$. E' questo che io ho verificato.
il problema è che non so da dove salti fuori...potresti dirmi come $2h*sin(1/h)-cos(1/h)$ diventi $h^2*sin(1/h)$?
Non sono in confusione sulla definizione di derivata!Semplicemente non ho mai fatto il limite del rapporto incrementale di una funzione definita a tratti.
Come vedi il mio procedimneto l'ho scritto per esteso al quarto post sopra questo...e mi viene diverso dal tuo che non capisco da dove salti fuori...se mi dici come hai fatto o dove ho sbagliato te ne sarei grato
Come vedi il mio procedimneto l'ho scritto per esteso al quarto post sopra questo...e mi viene diverso dal tuo che non capisco da dove salti fuori...se mi dici come hai fatto o dove ho sbagliato te ne sarei grato
Quindi sono le cose definite a tratti che ti confondono... Ma non è difficile. Sappiamo che:
$f(x)={(x^2sin(1/x), x!=0), (0, x=0):}$. Calcoliamo $f(0)$: è uguale a $0$. Quando $h!=0$ abbiamo che $f(h)=h^2sin(1/h)$. Mettiamo tutto insieme:
$\frac{f(h)-f(0)}{h}=h sin(1/h)$. Fine. Tu sbagliavi nell'usare l'espressione di $f'$ invece di quella di $f$.
$f(x)={(x^2sin(1/x), x!=0), (0, x=0):}$. Calcoliamo $f(0)$: è uguale a $0$. Quando $h!=0$ abbiamo che $f(h)=h^2sin(1/h)$. Mettiamo tutto insieme:
$\frac{f(h)-f(0)}{h}=h sin(1/h)$. Fine. Tu sbagliavi nell'usare l'espressione di $f'$ invece di quella di $f$.
è vero che pollo!!
mi ero confuso...grazie mille...per la pazienza...
mi ero confuso...grazie mille...per la pazienza...
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