Funzione a due variabili
Ciao!! Posto la soluzione di un esercizio per vedere se è svolto correttamente.
Testo: Discutere la natura dei punti critici della funzione $f(x,y)=y^3-3xy+3x$ quindi determinare estremo superiore ed inferiore sul dominio seguente: regione finita del primo quadrante delimitata dall'asse delle ascisse, dalla retta di equazione $x-4y=0$ e dalla curva di equazione $y^2-x+4=0.$
Soluzione: Per prima cosa calcolo le derivate parziali della funzione che sono rispettivamente $-3y+3$ e $3y^2-3x$. Vado a vedere dove si annullano e trovo il punto critico $(1,1)$. Mi costruisco l'Hessiano e ne studio il determinante nel punto $(1,1)$ trovando che è un punto di sella.
Passo ora allo studio della funzione sul dominio.
A segmento y=0, punti del tipo $(x,0)$ con $0<=x<=8$.
$g(x)=f(x,0)=3x$
$g'(x)=3$
Studio la funzione in questo punto e al confine.
$f(3,0)=9$
$f(0,0)=0$
$f(8,0)=64$
B segmento sulla retta $x-4y=0$, punti del tipo $(4y,y)$ con $0<=y<=2$
$h(x)=f(4y,y)=y^3-12y^2+12y$
$h'(x)=3y^2-24y+12$ che si annulla nei punti 0.5 e 7.5
Studio la funzione in questi punti e sul confine.
$f(2,0.5)=3.125$
$f(30,7.5)=-163.125$
$f(8,2)=-16$
C segmento sulla curva $y^2-3xy+3x$, punti del tipo $(y^2+4,y)$ con $0<=y<=2$
$z(x)=f(y^2+4,y)=-2y^3+3y^2-12y+12$
$z'(x)=-6y^2+6y-12$ che si annulla nei punti 0.4 e 5.6
Studio la funzione in questi punti
$f(4.16,0.4)=7.552$
$f(35.36,5.6)=...$
Concludendo posso dire che l'estremo inferiore è in $(8,2)$ e l'estremo superiore è in $(8,0)$
Ok... tutto sbagliato?!!!! No ditemi dove ho sbagliato o altro...
Grazie!
Testo: Discutere la natura dei punti critici della funzione $f(x,y)=y^3-3xy+3x$ quindi determinare estremo superiore ed inferiore sul dominio seguente: regione finita del primo quadrante delimitata dall'asse delle ascisse, dalla retta di equazione $x-4y=0$ e dalla curva di equazione $y^2-x+4=0.$
Soluzione: Per prima cosa calcolo le derivate parziali della funzione che sono rispettivamente $-3y+3$ e $3y^2-3x$. Vado a vedere dove si annullano e trovo il punto critico $(1,1)$. Mi costruisco l'Hessiano e ne studio il determinante nel punto $(1,1)$ trovando che è un punto di sella.
Passo ora allo studio della funzione sul dominio.
A segmento y=0, punti del tipo $(x,0)$ con $0<=x<=8$.
$g(x)=f(x,0)=3x$
$g'(x)=3$
Studio la funzione in questo punto e al confine.
$f(3,0)=9$
$f(0,0)=0$
$f(8,0)=64$
B segmento sulla retta $x-4y=0$, punti del tipo $(4y,y)$ con $0<=y<=2$
$h(x)=f(4y,y)=y^3-12y^2+12y$
$h'(x)=3y^2-24y+12$ che si annulla nei punti 0.5 e 7.5
Studio la funzione in questi punti e sul confine.
$f(2,0.5)=3.125$
$f(30,7.5)=-163.125$
$f(8,2)=-16$
C segmento sulla curva $y^2-3xy+3x$, punti del tipo $(y^2+4,y)$ con $0<=y<=2$
$z(x)=f(y^2+4,y)=-2y^3+3y^2-12y+12$
$z'(x)=-6y^2+6y-12$ che si annulla nei punti 0.4 e 5.6
Studio la funzione in questi punti
$f(4.16,0.4)=7.552$
$f(35.36,5.6)=...$
Concludendo posso dire che l'estremo inferiore è in $(8,2)$ e l'estremo superiore è in $(8,0)$
Ok... tutto sbagliato?!!!! No ditemi dove ho sbagliato o altro...
Grazie!
Risposte
Il ragionamento direi che è corretto, lo stesso il sup, credo invece che l'inf non sia quello che dici tu ma sia: -163.125, quindi $f(30,7.5)$.
La quota è quella più bassa, ma è mica fuori dal dominio in questione $x=30$?
Ah beh si l'ho visto adesso... Solo che non ci avevo neanche pensato, visto che avevo visto che l'avevi calcolato. Se sai già che il punto non appartiene al dominio non importa neanche che calcoli quanto vale la funzione in quel punto... 
Sisi infatti non so neanche perchè l'ho calcolato... 
Grazie mille!
Grazie mille!
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