Funzionali equicontinui sulle funzioni test
Sulla strada verso la teoria delle Distribuzioni...
Dunque, alcune considerazioni e qualche dubbio amletico. La linearità è ovvia, non mi sembra ci sia nulla da dire. Per la continuità, si capisce subito che sotto sotto c'è Banach-Steinhaus e l'uniforme limitatezza. In effetti, chiamiamo $\Lambda_n$ il funzionale \(\phi\mapsto \Lambda_n(\phi):=\int_{[-1,1]}f_n(t)\phi(t)dt\).
Ora la semplice considerazione che
\[
\vert \Lambda_n(\phi) \vert = \left\vert \int_{[-1,1]}f_n(t)\phi(t)dt \right\vert \le c_n\Vert \phi \Vert_{\infty}
\]
(dove $c_n$ è una costante dipendente da $n$) mi dice che i $\Lambda_n$ sono continui rispetto alla topologia indotta dalla norma del sup. E ma proprio qui casco io, come un asino: io non sono interessato alla convergenza come funzioni continue, a me interessa un'altra topologia. Più precisamente a me interessa la topologia indotta da $C^\infty(\mathbb RR)$ che si guarda bene dall'essere normato.
Quindi, per fare le cose per bene, fissiamo $\varepsilon>0$ e definiamo \(N:=\lceil \frac{c_n}{\varepsilon} \rceil\) dove \(c_n:=\int_K \vert f_n \vert d\mu\). Allora
\[
\vert \Lambda_n(\phi) \vert = \left\vert \int_{[-1,1]}f_n(t)\phi(t)dt \right\vert \le c_n p_N(\phi) <\varepsilon
\]
purché $\phi \in V_N$.
Quindi ogni $\Lambda_n$ è continuo (in $0$ e quindi in ogni punto) e, poiché per ipotesi il limite $\lim_{n} \Lambda_n\phi$ esiste per ogni $\phi \in \mathcal D$ (che, essendo chiuso in un completo è completo) posso concludere - Banach-Steinhaus - che $\Lambda$ è continuo. Fin qui è giusto?
Ora l'uniformità: vorrei prendere un opportuno limitato di $\mathcal D$ per poter asserire che esiste un limitato di $\RR$ (appunto, quell'$M$ che chiede il testo) tale che \( \vert\Lambda_n \phi\vert \) ma non vedo come fare... La strada è giusta? Che dite voi di questo mio delirio? C'è un briciolo di verità?
Grazie in anticipo per la pazienza.
Problema. Sia [tex]\mathcal D :=\left\{f \in C^{\infty}(\mathbb R), \, \text{supp}f\subseteq [-1,1] \right\}[/tex] con la topologia indotta da quella usuale di $C^{\infty}(\RR)$.
Consideriamo il funzionale
\[
\mathcal D \ni \phi \mapsto \Lambda \phi := \lim_{n \to +\infty}\int_{[-1,1]}f_n(t)\phi(t)dt \in \mathbb R
\]
dove \((f_n)_{n \in \mathbb N}\) è una successione di funzioni $L^1$ tali che $\Lambda\phi$ esiste per ogni $\phi \in \mathcal D$.
Si chiede (=Rudin chiede di):
1. mostrare che $\Lambda$ è lineare e continuo;
2. mostrare che esistono due numeri $p,M>0$ t.c.
\[
\left\vert \int_{[-1,1]}f_n(t)\phi(t)dt \right\vert \le M \Vert D^p\phi \Vert_{\infty}
\]
per ogni $n$, per ogni $\phi \in \mathcal D$.
Dunque, alcune considerazioni e qualche dubbio amletico. La linearità è ovvia, non mi sembra ci sia nulla da dire. Per la continuità, si capisce subito che sotto sotto c'è Banach-Steinhaus e l'uniforme limitatezza. In effetti, chiamiamo $\Lambda_n$ il funzionale \(\phi\mapsto \Lambda_n(\phi):=\int_{[-1,1]}f_n(t)\phi(t)dt\).
Ora la semplice considerazione che
\[
\vert \Lambda_n(\phi) \vert = \left\vert \int_{[-1,1]}f_n(t)\phi(t)dt \right\vert \le c_n\Vert \phi \Vert_{\infty}
\]
(dove $c_n$ è una costante dipendente da $n$) mi dice che i $\Lambda_n$ sono continui rispetto alla topologia indotta dalla norma del sup. E ma proprio qui casco io, come un asino: io non sono interessato alla convergenza come funzioni continue, a me interessa un'altra topologia. Più precisamente a me interessa la topologia indotta da $C^\infty(\mathbb RR)$ che si guarda bene dall'essere normato.
Quindi, per fare le cose per bene, fissiamo $\varepsilon>0$ e definiamo \(N:=\lceil \frac{c_n}{\varepsilon} \rceil\) dove \(c_n:=\int_K \vert f_n \vert d\mu\). Allora
\[
\vert \Lambda_n(\phi) \vert = \left\vert \int_{[-1,1]}f_n(t)\phi(t)dt \right\vert \le c_n p_N(\phi) <\varepsilon
\]
purché $\phi \in V_N$.
Quindi ogni $\Lambda_n$ è continuo (in $0$ e quindi in ogni punto) e, poiché per ipotesi il limite $\lim_{n} \Lambda_n\phi$ esiste per ogni $\phi \in \mathcal D$ (che, essendo chiuso in un completo è completo) posso concludere - Banach-Steinhaus - che $\Lambda$ è continuo. Fin qui è giusto?
Ora l'uniformità: vorrei prendere un opportuno limitato di $\mathcal D$ per poter asserire che esiste un limitato di $\RR$ (appunto, quell'$M$ che chiede il testo) tale che \( \vert\Lambda_n \phi\vert \) ma non vedo come fare... La strada è giusta? Che dite voi di questo mio delirio? C'è un briciolo di verità?
Grazie in anticipo per la pazienza.
Risposte
"Paolo90":Non mi scrivere di asini che cascano! -_-
...ma proprio qui casco io, come un asino...
Quindi ogni $\Lambda_n$ è continuo (in $0$ e quindi in ogni punto) e, poiché per ipotesi il limite $\lim_{n} \Lambda_n\phi$ esiste per ogni $\phi \in \mathcal D$ (che, essendo chiuso in un completo è completo) posso concludere - Banach-Steinhaus - che $\Lambda$ è continuo. Fin qui è giusto?...
Il punto è che non capisco perché tu possa applicare il principio di Banach-Steinhaus in uno spazio numerabilmente normato?
Se mi dai un riferimento bibliografico preciso può essere che riesca a scriverti qualcosa di più preciso!
Mi permetto un piccolo up, aggiornando il topic con una correzione.
Diversamente da quanto pensavo io, la continuità di $\Lambda_n$ può dimostrarsi osservando che
\[
\vert \Lambda_n(\phi) \vert = \left\vert \int_{[-1,1]}f_n(t)\phi(t)dt \right\vert \le c_n\Vert \phi \Vert_{\infty}
\]
perché la \( \Vert \cdot \Vert_{\infty}\) è una delle seminorme che inducono la topologia del mio spazio. Siete d'accordo fin qui?
Un aiuto per la seconda parte, per piacere? Sebbene sia chiaro che sotto c'è uniforme limitatezza, brancolo ancora nel buio: non riesco a formalizzare...
Grazie.
P.S. Per Armando: sì, Banach-Steinhaus vale in spazi vettoriali topologici arbitrari. Vedi W. Rudin, Functional Analysis, Chapter II.
Diversamente da quanto pensavo io, la continuità di $\Lambda_n$ può dimostrarsi osservando che
\[
\vert \Lambda_n(\phi) \vert = \left\vert \int_{[-1,1]}f_n(t)\phi(t)dt \right\vert \le c_n\Vert \phi \Vert_{\infty}
\]
perché la \( \Vert \cdot \Vert_{\infty}\) è una delle seminorme che inducono la topologia del mio spazio. Siete d'accordo fin qui?
Un aiuto per la seconda parte, per piacere? Sebbene sia chiaro che sotto c'è uniforme limitatezza, brancolo ancora nel buio: non riesco a formalizzare...
Grazie.
P.S. Per Armando: sì, Banach-Steinhaus vale in spazi vettoriali topologici arbitrari. Vedi W. Rudin, Functional Analysis, Chapter II.
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