Frazioni... socuro appunti
sarà la stanchezza, ma stavo riguardando i miei appunti di oggi e non mi è chiaro perchè lo svilupo decimale di $(10^s)/(10^s-1)=1+1/10^s+1/10^(2s)+...+1/10^(ks)+...
di sicuro è banalissimo dimostrarlo, però non capisco... anche provando con il normalissimo algoritmo di euclide mi perdo.. cioè non ricostruisco la serie di frazioni riportate...
chi sa aiutarmi?
grazie a tutii
di sicuro è banalissimo dimostrarlo, però non capisco... anche provando con il normalissimo algoritmo di euclide mi perdo.. cioè non ricostruisco la serie di frazioni riportate...
chi sa aiutarmi?
grazie a tutii
Risposte
Un modo può essere riconoscere la serie geometrica $\sum_(k=0)^(oo)(10^(-s))^k=1/(1-10^(-s))=(10^s)/(10^s-1)$.
"fu^2":
sarà la stanchezza, ma stavo riguardando i miei appunti di oggi e non mi è chiaro perchè lo svilupo decimale di $(10^s)/(10^s-1)=1+1/10^s+1/10^(2s)+...+1/10^(ks)+...
Puoi ricavarlo dall'identità
$\sum_{k=0}^{oo}a^k=(1)/(1-a)$ se $|a|<1$
nel caso $a=10^{-s}$.
"ficus2002":
[quote="fu^2"]sarà la stanchezza, ma stavo riguardando i miei appunti di oggi e non mi è chiaro perchè lo svilupo decimale di $(10^s)/(10^s-1)=1+1/10^s+1/10^(2s)+...+1/10^(ks)+...
Puoi ricavarlo dall'identità
$\sum_{k=0}^{oo}a^k=(1)/(1-a)$ se $|a|<1$
nel caso $a=10^{-s}$.[/quote]
serie geometrica... mmm sono diverse dalle progressioni geometriche?
comunque se chimamiamo $S_n=\sum_{k=0}^{oo}a^k=(1)/(1-a)$ se $|a|<1$
si può ricavare chiamando $S_n=1+a^1+a^2+...+a^n+...$ e chiamiamo una seconda serie $aS_n=a+a^2+a^3+...+a^(n)+a^(n+1)+...$
facciamo $S_n-aS_n=1$ quindi $S_n(1-a)=1$ quindi $S_n=1/(1-a)$, da ui segue la ts.
va bene come dimostrazione?
ci ho pensato su ora, è troppo artificiosa x i miei gusti..
ne conoscete altre?
"fu^2":
sarà la stanchezza...
comunque se chimamiamo $S_n=\sum_{k=0}^{oo}a^k=(1)/(1-a)$ se $|a|<1$
manca la dipendenza dal parametro $n$..., ehssì le prime settimane di uni sono stancanti
"luca.barletta":
[quote="fu^2"]sarà la stanchezza...
comunque se chimamiamo $S_n=\sum_{k=0}^{oo}a^k=(1)/(1-a)$ se $|a|<1$
manca la dipendenza dal parametro $n$..., ehssì le prime settimane di uni sono stancanti
[/quote]dipendenza dal parametro n? scusa dov'è il parametro n? se ti riferisci alla scrittura $S_n$ quell'n non ha significato nella mia scrittura... è giusto per darle un nome...
a quello ti riferisci?
... chiamando $S_n=1+a^1+a^2+...+a^n+...$ bleah, che cosa ci fa quello $n$ a primo membro???
semmai: $S_n=1+a^1+a^2+...+a^n$
e chiamiamo a Marioooo! non stai "chiamando" stai facendo una operazione su un oggetto già definito prima
semmai:
$aS_n=a+a^2+a^3+...+a^(n)+a^(n+1)+...$ speriamo sia vero!!!
va bene come dimostrazione? NO
ne conoscete altre?
s p e r o d i s ì
tanto per entrare nell'atmosfera giusta di mate...
semmai: $S_n=1+a^1+a^2+...+a^n$
e chiamiamo a Marioooo! non stai "chiamando" stai facendo una operazione su un oggetto già definito prima
semmai:
$aS_n=a+a^2+a^3+...+a^(n)+a^(n+1)+...$ speriamo sia vero!!!
va bene come dimostrazione? NO
ne conoscete altre?
s p e r o d i s ì tanto per entrare nell'atmosfera giusta di mate...
Wow, che violenza!!! 
"amel":
Wow, che violenza!!!
viuulenza, prego
'ste matricole vanno svezzate presto!
"Fioravante Patrone":
viuulenza, prego
Ma perchè voi prof., anche (anzi direi soprattutto...) quelli bravi, maltrattate così noi poveri studenti? Uno si prende paura... e poi vi lamentate pure: - Perchè non chiedete se non avete capito? - Perchè mi mangi se ti dico qualche cavolata, ecco perchè...
Comunque, seriamente, consiglio di fornirsi di un buon supporto bibliografico... Sarà banale, ma secondo me aiuta quando ci si trova così incasinati...
"Fioravante Patrone":
... chiamando $S_n=1+a^1+a^2+...+a^n+...$ bleah, che cosa ci fa quello $n$ a primo membro???
semmai: $S_n=1+a^1+a^2+...+a^n$
e chiamiamo a Marioooo! non stai "chiamando" stai facendo una operazione su un oggetto già definito prima
semmai:
$aS_n=a+a^2+a^3+...+a^(n)+a^(n+1)+...$ speriamo sia vero!!!
va bene come dimostrazione? NO
ne conoscete altre?
tanto per entrare nell'atmosfera giusta di mate...
potevi essere più soft però
scusa ma se definisco $S_n=sum_(k=1)^(+oo)a^k$
allora in modo esteso posso scrivere che $S_n=a^0+a^1+a^2+a^3+...+a^n+a^(n+1)+...$
giusto?
allora se moltiplico per a il primo e il secondo membro ottendo $aE_n=a(a^0+a^1+a^2+a^3+...+a^n+a^(n+1)+...)
e quindi $S_n-aS_n=a^0+a^1+a^2+a^3+...+a^n+a^(n+1)-(a^1+a^2+...+a^n+a^(n+1)+..)=1$
quindi ritrovo che $S_n=1/(1-a)$ come detto all'inizio...
in modo più soft (
) mi potreste dire dove commetto l'errore logico nel procedimento?abbiate pazienza...
"fu^2":
scusa ma se definisco $S_n=sum_(k=1)^(+oo)a^k$
Perchè ci hai messo $n$? A che serve? Pensaci...
"fu^2":
[quote="Fioravante Patrone"]
tanto per entrare nell'atmosfera giusta di mate...
potevi essere più soft però
[/quote]ma così non entri nell'atmosfera giusta!
"fu^2":
scusa ma se definisco $S_n=sum_(k=1)^(+oo)a^k$
no, te l'ha già detto Luca Barletta (EDIT: e anche amel, che mi ha preceduto...)
provo a dirtelo in un altro modo: a destra di "=", come vedi bene, non compare nessuna variabile $n$
cioè, il membro a destra non dipende da $n$
quindi è un po' curioso chiamarlo $S_n$
non è vietato, basta che tu sia consapevole che $S_n$ è una funzione (di $n$) costante...
poi c'è un altro problema
a dx sommi infiniti addendi
sei sicuro che si possa fare, che abbia senso?
insomma, ti stai cacciando in un roveto
senza jeans
comincia così, che è meglio:
$S_n=sum_(k=1)^n a^k$
ciao
a ok
ho capito dove sbagliavo
allora posso definire che $S_n=sum_(k=1)^na^k
quindi le due somme che dicevo prima diventano
$S_n=1+a+a^2+..+a^n$ mentre $aS_n=a+a^2+..+a^n+a^(n+1)$
quindi $S_n-aS_n=1-a^(n+1)$ quindi $S_n=(1-a^(n+1))/(1-a)$
a questo punto ho la somma dei primi n termini, che è banale (o meglio già mi era nota
)
ora c'è il passo che mi mancava: devo calcolare $sum_(k=1)^(+oo)a^k=lim_(nto+oo)(1-a^(n+1))/(1-a)=1/(1-a)$
ora va bene... giusto?
ho capito dove sbagliavo
allora posso definire che $S_n=sum_(k=1)^na^k
quindi le due somme che dicevo prima diventano
$S_n=1+a+a^2+..+a^n$ mentre $aS_n=a+a^2+..+a^n+a^(n+1)$
quindi $S_n-aS_n=1-a^(n+1)$ quindi $S_n=(1-a^(n+1))/(1-a)$
a questo punto ho la somma dei primi n termini, che è banale (o meglio già mi era nota
)ora c'è il passo che mi mancava: devo calcolare $sum_(k=1)^(+oo)a^k=lim_(nto+oo)(1-a^(n+1))/(1-a)=1/(1-a)$
ora va bene... giusto?
"fu^2":
ora c'è il passo che mi mancava: devo calcolare $sum_(k=1)^(+oo)a^k=lim_(nto+oo)(1-a^(n+1))/(1-a)=1/(1-a)$
ora va bene... giusto?
una precisazione: il significato della scrittura $sum_(k=1)^(+oo)a^k$ è dato da: $lim_(nto+oo) sum_(k=1)^na^k$.
O, se vuoi, $sum_(k=1)^(+oo)a^k$ è definito come: $lim_(nto+oo) sum_(k=1)^na^k$.
Ammesso che i limiti esistano e siano reali, of course
"Fioravante Patrone":
[quote="fu^2"]
ora c'è il passo che mi mancava: devo calcolare $sum_(k=1)^(+oo)a^k=lim_(nto+oo)(1-a^(n+1))/(1-a)=1/(1-a)$
ora va bene... giusto?
una precisazione: il significato della scrittura $sum_(k=1)^(+oo)a^k$ è dato da: $lim_(nto+oo)(1-a^(n+1))/(1-a)$.
O, se vuoi, $sum_(k=1)^(+oo)a^k$ è definito come: $lim_(nto+oo)(1-a^(n+1))/(1-a)$.[/quote]
o bene!
ora mi son reso conto dell'assurdità che ho scritto prima
grazie delle delucidazioni...
troppo stanco... son cose banalissime alla fine!
grazie a tutti!
"amel":
[quote="Fioravante Patrone"]
viuulenza, prego
Ma perchè voi prof., anche (anzi direi soprattutto...) quelli bravi, maltrattate così noi poveri studenti? Uno si prende paura... e poi vi lamentate pure: - Perchè non chiedete se non avete capito? - Perchè mi mangi se ti dico qualche cavolata, ecco perchè...
Comunque, seriamente, consiglio di fornirsi di un buon supporto bibliografico... Sarà banale, ma secondo me aiuta quando ci si trova così incasinati...
[/quote]scusa, amel, non avevo visto questo tuo post
non mi è chiaro se i tuoi rimproveri sono seri oppure no, comunque li prendo per tali
io parlavo così con fu^2 perché è da un po' che ci conosciamo, e ne approfittavo per mettere in evidenza degli errori abbastanza tipici
credo si debba saper riconoscere un atteggiamento che, dietro a un tono burbero, nasconde empatia nei confronti dello studente
so benissimo che ci sono prof i quali tentano di esorcizzare le proprie insicurezze e/o frustrazioni trattando male gli studenti. In questi casi, ci vuole un po' di coraggio, ma bisogna affermare i propri diritti, di persone umane in primis e di studenti in secundis
senza farla troppo lunga, aggiungo che, come dicevo tempi fa in uno dei tanti post di giova411, bisogna chiedere sempre, se non si è capito. Io lo faccio (tra l'altro, così facendo, ho scoperto molti re nudi)
a fu^2, aggiungo: volevo solo fare un po' di scena. Se ti sei sentito trattato male, offeso, scusami. Non era mia intenzione.
ciao
"Fioravante Patrone":
a fu^2, aggiungo: volevo solo fare un po' di scena. Se ti sei sentito trattato male, offeso, scusami. Non era mia intenzione.
ciao
beh si l'avevo colto il tono
e poi ho già la prima chicca universitaria a proposito detta dal mio prof di analisi
"quando si rimprovera uno studente facendo ironia e evidenziando il suo errore, non è per terrorizzarlo o metterlo in imbarazzo davanti agli altri, ma in questo modo egli si ricorda meglio dell'errore commesso e ci rifletetrà meglio dal ricompielo"...
un pò di ironia - umorismo è sempre meglio metterla, grazie delle correzioni all'"esercizio" di ieri!
ciao!
"fu^2":
"quando si rimprovera uno studente facendo ironia e evidenziando il suo errore, non è per terrorizzarlo o metterlo in imbarazzo davanti agli altri, ma in questo modo egli si ricorda meglio dell'errore commesso e ci rifletetrà meglio dal ricompielo"
una cosa che faccio qualche volta è di dire volutamente una cosa sbagliata
lo faccio in casi in cui non sia evidente che lo è
e poi sgrido gli studenti, se non se ne accorgono
una delle volte più belle è stata a un corso di TdG, due anni fa
ho detto volutamente una cosa sbagliata (era sulla "battaglia dei sessi" e riguarda un tipico "misunderstanding" relativo a questo gioco)
uno studente fra i migliori, e particolarmente sveglio, mi ha subito obiettato
io ho insistito e, usando i suoi colleghi creduloni (così che si è ritrovato da solo a sostenere la tesi in mezzo a cento), alla fine, anche se a fatica, l'ho indotto a darmi ragione
al che gli ho fatto una strigliata memorabile perché uno non deve essere così poco convinto delle proprie idee!!!
Premessa: permettetemi l'intrusione!
è vero!
però quando il professore ti fissa in un certo modo si è assaliti da un'infinità ( numerabile!! ) di dubbi:
a me è capitata una cosa simile, non perchè fossi la migliore ma semplicemente perchè ero in sede d'esame!!
"Fioravante Patrone":
io ho insistito e, usando i suoi colleghi creduloni (così che si è ritrovato da solo a sostenere la tesi in mezzo a cento), alla fine, anche se a fatica, l'ho indotto a darmi ragione
al che gli ho fatto una strigliata memorabile perché uno non deve essere così poco convinto delle proprie idee!!!
è vero!
però quando il professore ti fissa in un certo modo si è assaliti da un'infinità ( numerabile!!
) di dubbi:a me è capitata una cosa simile, non perchè fossi la migliore ma semplicemente perchè ero in sede d'esame!!
"milady":
però quando il professore ti fissa in un certo modo si è assaliti da un'infinità ( numerabile!!
è vero, anche più che numerabile
ma infatti, il mio pre-giudizio positivo su quello studente non è cambiato per questo episodio, anzi è migliorato
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