Formula di Laplace.

[moreno88]

Salve a tutti,
ho un dubbio riguardante la formula di Laplace,

dato una equazione differenziale di primo ordine del tipo
$(x_2(t))'=-3x_2 +u(t)$
con $u(t)="scal"(t)$
per calcolare la $x_2(t)$ come devo fare?

io provo a risolvere leq differenziale normalmente senza utilizzare quelle formule...
pero già dal primo passaggio vedo un integrale del tipo
$int("scal"(t)e^(3t))$
come lo risolvo?
o devo usare per forza quelle formule?

[Ska1]

secondo me è $\int_0^t e^{-3(t-\tau)} u(\tau)d\tau$, essendo $u(t)="scal"(t)$ allora avrai $\int_0^t e^{-3(t-\tau)}*1d\tau = 1/3(1 - e^{-3t})$

la formula è un risultato dell'applicazione della trasformata di laplace all'equazione differenziale:

$x_2' = -3x_2 + u$ trasformando con Laplace membro a membro si ottiene $sX_2(s) - x_2(0) = -3 X_2(s) + U(s)$ da cui esplicitando $X_2$ si ha $X_2(s) = 1/(s+3)*(U(s) + x_2(0))$

Antitrasformando si ha $x_2(t) = x_2(0)e^{-3t} + u(t)\star e^{-3t} = x_2(0)e^{-3t} +\int_0^t e^{-3(t-\tau)} u(\tau)d\tau$ questo perchè l'antitrasformata riporta ad avere segnali causali (nulli per $t<0$)


Ora, l'equazione differenziale la puoi risolvere anche in altri modi, puoi vederla come equazione a variabili separabili

$(dx_2(\tau)) / (d\tau) = -3 x_2(\tau) +1$ da cui $(dx_2(\tau))/(1 - 3x_2(\tau)) = d\tau$, integrando membro a membro tra $0$ e $t$ (si suppone di avere la condizione $x_2(0)$)

$\int_0^t (dx_2(\tau))/(1 - 3x_2(\tau)) = -1/3 log((1 - 3x_2(t))/(1 - 3x_2(0))) = t$ da cui $1 - 3x_2(t) = (1 - 3x_2(0))e^{-3t}$ da cui poi $x_2(t) = x_2(0)e^{-3t} + 1/3(1 - e^{-3t})$