Formula di Hermite
Come applichereste la formula di Hermite al seguente poulinomio?
$f(s)=4/((s+5)^2+16)
$f(s)=4/((s+5)^2+16)
Risposte
Non è che per caso la funzione è questa?
$f(s)=4/(((s+5)^2+16)^2)$
$f(s)=4/(((s+5)^2+16)^2)$
"Kroldar":
Non è che per caso la funzione è questa?
$f(s)=4/(((s+5)^2+16)^2)$
In realtà ottengo:
$y(s)=s+9+4/((s+5)^2+16)
Non ho capito cosa richieda l'esercizio... se il denominatore non è tutto elevato al quadrato credo ci sia ben poco da applicare Hermite...
è un problema di Cauchy da risolvere con la trasf.di Laplace
${(y^('')+10y^{\prime}+41y=e^(-5t)sin(4t)),(y(0)=1),(y^{\prime}(0)=-1):}$$"con"$ $tin[0,+infty[$
${(y^('')+10y^{\prime}+41y=e^(-5t)sin(4t)),(y(0)=1),(y^{\prime}(0)=-1):}$$"con"$ $tin[0,+infty[$
Ho dato un'occhiata a tutto il problema e alla fine risulta:
$y(s)=(s+9)/((s+5)^2+16) +4/(((s+5)^2+16)^2)$
Qua sì che si può applicare Hermite...
$y(s)=(s+9)/((s+5)^2+16) +4/(((s+5)^2+16)^2)$
Qua sì che si può applicare Hermite...
"Kroldar":
Ho dato un'occhiata a tutto il problema e alla fine risulta:
$y(s)=(s+9)/((s+5)^2+16) +4/(((s+5)^2+16)^2)$
Qua sì che si può applicare Hermite...
Puoi farmi vedere come?
Vediamo un caso notevole di applicazione della formula di Hermite:
$1/((z^2+omega^2)^2) = 1/(2omega^2) (1/(z^2+omega^2) + d/dz z/(z^2+omega^2))$
Ora dobbiamo antritrasformare $Y(s)$, dove
$Y(s) = (s+9)/((s+5)^2+16) + 4/(((s+5)^2+16)^2)$
Non credo tu abbia problemi ad antitrasformare il primo addendo a secondo membro... concentriamoci sul secondo...
$4/(((s+5)^2+16)^2) = 4 1/(((s+5)^2+4^2)^2)$
Applicando la formula di Hermite riconducendoci al caso notevole scritto sopra, in cui $omega=4$ e $z=s+5$; risulta
$4 1/(((s+5)^2+4^2)^2) = 1/8 (1/((s+5)^2+16) +d/(ds) (s+5)/((s+5)^2+16))$
$1/((z^2+omega^2)^2) = 1/(2omega^2) (1/(z^2+omega^2) + d/dz z/(z^2+omega^2))$
Ora dobbiamo antritrasformare $Y(s)$, dove
$Y(s) = (s+9)/((s+5)^2+16) + 4/(((s+5)^2+16)^2)$
Non credo tu abbia problemi ad antitrasformare il primo addendo a secondo membro... concentriamoci sul secondo...
$4/(((s+5)^2+16)^2) = 4 1/(((s+5)^2+4^2)^2)$
Applicando la formula di Hermite riconducendoci al caso notevole scritto sopra, in cui $omega=4$ e $z=s+5$; risulta
$4 1/(((s+5)^2+4^2)^2) = 1/8 (1/((s+5)^2+16) +d/(ds) (s+5)/((s+5)^2+16))$
"ENEA84":
[quote="Kroldar"]Ho dato un'occhiata a tutto il problema e alla fine risulta:
$y(s)=(s+9)/((s+5)^2+16) +4/(((s+5)^2+16)^2)$
Qua sì che si può applicare Hermite...
Puoi farmi vedere come?[/quote]
Trasformando secondo Laplace primo e secondo membro si ha:
$s^2Y-sY(0)-Y'(0)+10(sY-Y(0))+41Y=4/((s+5)^2+16)$ cioè
$s^2Y-s+1+10sY-10+41Y=4/((s+5)^2+16)$ da cui
$Y(s^2+10s+41)=s+9+4/((s+5)^2+16)$ cioè
$Y((s+5)^2+16)=s+9+4/((s+5)^2+16)->Y(s)=(s+9)/((s+5)^2+16)+4/((s+5)^2+16)^2$
Quando in esercizi del genere trovo un polinomiocon radici complesse,come devo comportarmi?
"ENEA84":
Quando in esercizi del genere trovo un polinomiocon radici complesse,come devo comportarmi?
devi metterlo nella forma di cui sopra cioè se hai radici del tipo $alpha+-i*beta$ allora devi scrivere il polinomio come
$(s-alpha)^2+beta^2$