Formula dell'area vs Teorema di Pappo-Guldino
Ciao a tutti! Come da titolo il problema è il seguente: ho risolto un esercizio sia con la formula dell'area che con il teorema di Pappo-Guldino ma le due soluzioni non coincidono e non capisco dove ho sbagliato.
Allora, si tratta di calcolare la superficie del seguente insieme
$M={(x,y,z) in bbbR^3: x^2+y^2-z^2=0, x>=0, y>=0, R>=z>=0}$ ove $R in bbbR$
che nient'altro è che la superficie di un cono con altezza R lungo l'asse z ristretto al primo ottante.
Soluzione con la formula dell'area
Ho trovato una parametrizzazione del cono data dalla mappa
$psi:D subset bbbR^2 to bbbR^3; (theta,rho) mapsto (rho cos(theta), rho sin(theta), rho cos(theta))=(x,y,z)$
ove $D={(theta,rho) in bbbR^2: 0<=theta<=pi/2, 0<=rho<=R}$
per cui ho calcolato la matrice del differenziale e lo jacobiano
$D psi (theta,rho)=((- rho sin(theta),cos(theta)),(rho cos(theta),sin(theta)),(-rho sin(theta), cos(theta)))$
$J psi(theta,rho)= sqrt(2) rho$
e infine ho applicato la formula dell'area
$text(area)(M)=int_{M} dx dy dz=int_{D} sqrt(2) rho d rho d theta=(pi R^2)/(2 sqrt(2))$
Soluzione con il teorema di Pappo-Guldino
La superficie M è data dalla rotazione attorno all'asse z del segmento
$S={(x,y,z) in bbbR^3: x=z, y=0}$
avente lungezza $l(S)=sqrt(2) R$ ed ascissa del baricentro $hat x=R/sqrt(2)$ (facendo un disegno è tutto immediato anche se non vorrei aver sbagliato proprio qui
), per cui dal teorema segue che
$text(area) (M)= pi/2 hat x l(S)=pi/2 R/sqrt(2) R sqrt(2)= (pi R^2)/2$
Come conferma ho calcolato pure la superficie del quarto di cono con la formula della geometria descrittiva ed ho ottenuto
$text(area) (M)= 1/4 text(area cono)= 1/4 cdot pi cdot text(raggio) cdot text(apotema)=1/4 pi R R sqrt(2)=(pi R^2)/(2 sqrt(2))$
per cui, in teoria, il primo risultato dovrebbe essere quello giusto.
Allora, si tratta di calcolare la superficie del seguente insieme
$M={(x,y,z) in bbbR^3: x^2+y^2-z^2=0, x>=0, y>=0, R>=z>=0}$ ove $R in bbbR$
che nient'altro è che la superficie di un cono con altezza R lungo l'asse z ristretto al primo ottante.
Soluzione con la formula dell'area
Ho trovato una parametrizzazione del cono data dalla mappa
$psi:D subset bbbR^2 to bbbR^3; (theta,rho) mapsto (rho cos(theta), rho sin(theta), rho cos(theta))=(x,y,z)$
ove $D={(theta,rho) in bbbR^2: 0<=theta<=pi/2, 0<=rho<=R}$
per cui ho calcolato la matrice del differenziale e lo jacobiano
$D psi (theta,rho)=((- rho sin(theta),cos(theta)),(rho cos(theta),sin(theta)),(-rho sin(theta), cos(theta)))$
$J psi(theta,rho)= sqrt(2) rho$
e infine ho applicato la formula dell'area
$text(area)(M)=int_{M} dx dy dz=int_{D} sqrt(2) rho d rho d theta=(pi R^2)/(2 sqrt(2))$
Soluzione con il teorema di Pappo-Guldino
La superficie M è data dalla rotazione attorno all'asse z del segmento
$S={(x,y,z) in bbbR^3: x=z, y=0}$
avente lungezza $l(S)=sqrt(2) R$ ed ascissa del baricentro $hat x=R/sqrt(2)$ (facendo un disegno è tutto immediato anche se non vorrei aver sbagliato proprio qui
), per cui dal teorema segue che$text(area) (M)= pi/2 hat x l(S)=pi/2 R/sqrt(2) R sqrt(2)= (pi R^2)/2$
Come conferma ho calcolato pure la superficie del quarto di cono con la formula della geometria descrittiva ed ho ottenuto
$text(area) (M)= 1/4 text(area cono)= 1/4 cdot pi cdot text(raggio) cdot text(apotema)=1/4 pi R R sqrt(2)=(pi R^2)/(2 sqrt(2))$
per cui, in teoria, il primo risultato dovrebbe essere quello giusto.
Risposte
"marco.bre":
ed ascissa del baricentro $hat x=R/sqrt(2)$ (facendo un disegno è tutto immediato anche se non vorrei aver sbagliato proprio qui
$hat x=R/2$
"Quinzio":
$hat x=R/2$
Sapresti spiegarmi il perchè? Il baricentro non dovrebbe stare nel punto medio del segmento visto che questo ha una distribuzione di massa uniforme?
Infatti sta nel punto medio.
Cavoli, mi ero fissato sul fatto che il baricentro fosse a metà della lunghezza. Infatti calcolando l'ascissa con l'integrale mi è venuto il risultato corretto. Grazie dell'aiuto!
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