Forme differenziali a 2 variabili
Ciao a tutti,
manca poco alla data dell'esame e guardando i compiti che escono ho trovato un esercizio che riguarda le "Forme differenziali". L'esercizio chiede di verificare se esse sono aperte, chiuse, esatte...
Premetto che non conosco l'argomento e ho appena dato un'occhiata a wiki giusto per vedere di cosa si trattasse. Purtroppo non ho il tempo per approfondire e visto che l'esercizio è sempre uguale (ovviamente cambia la forma differenziale ma la domanda è sempre la stessa) ho cercato un po su internet il metodo di sviluppo ed eventualmente esercizi svolti.
So che chiedo tanto ma purtroppo sono costretto a farlo
Dato un esercizio di questo tipo:
A quanto ho capito bisogna fare la derivata in x della funzione dy.. e viceversa la derivata in y della funzione dx. Poi confrontandole si puo rispondere. Mi spiegate meglio questa cosa? Grazie
manca poco alla data dell'esame e guardando i compiti che escono ho trovato un esercizio che riguarda le "Forme differenziali". L'esercizio chiede di verificare se esse sono aperte, chiuse, esatte...
Premetto che non conosco l'argomento e ho appena dato un'occhiata a wiki giusto per vedere di cosa si trattasse. Purtroppo non ho il tempo per approfondire e visto che l'esercizio è sempre uguale (ovviamente cambia la forma differenziale ma la domanda è sempre la stessa) ho cercato un po su internet il metodo di sviluppo ed eventualmente esercizi svolti.
So che chiedo tanto ma purtroppo sono costretto a farlo
Dato un esercizio di questo tipo:
A quanto ho capito bisogna fare la derivata in x della funzione dy.. e viceversa la derivata in y della funzione dx. Poi confrontandole si puo rispondere. Mi spiegate meglio questa cosa? Grazie
Risposte
EDIT:Cerco di scrivere in maniera più precisa e matematica.
Sia $omega=a_1dx_1+...+a_jdx_j$. Essa è chiusa se e solo se tutti i monomi sono uguali tra loro.
Dunque volendo verificare la chiusura in una semplice forma differenziale binomiale:
$omega=a_1dx+a_2dy -> a_1dx=a_2dy -> a_1/dy=a_2/dx$ Se è verificata l'uguaglianza la forma differenziale è chiusa.
Adesso mi rimane da capire il concetto di esattezza e cosa c'entra il dominio con tutto questo
Sia $omega=a_1dx_1+...+a_jdx_j$. Essa è chiusa se e solo se tutti i monomi sono uguali tra loro.
Dunque volendo verificare la chiusura in una semplice forma differenziale binomiale:
$omega=a_1dx+a_2dy -> a_1dx=a_2dy -> a_1/dy=a_2/dx$ Se è verificata l'uguaglianza la forma differenziale è chiusa.
Adesso mi rimane da capire il concetto di esattezza e cosa c'entra il dominio con tutto questo
Se riesci a dimostrare che il dominio è stellato rispetto ad un suo punto oppure che è semplicemente connesso, allora la chiusura implica l'esattezza.
"Injo":
Se riesci a dimostrare che il dominio è stellato rispetto ad un suo punto oppure che è semplicemente connesso, allora la chiusura implica l'esattezza.
ciao, innanzitutto grazie per la risposta..
Il mio libro dice: "Se il dominio è aperto e connesso, la chiusura di omega non implica l'esattezza".
EDIT: Da una ricerca online scopro il significato di insieme stellato. Dunque arricchisco la mia tesi sullo sviluppo della forma differenziale cercando di trovare in voi eventuale correzione.
Sia $omega=a_1dx_1+...+a_jdx_j$. Essa è chiusa se e solo se tutti i monomi sono uguali tra loro.
Dunque volendo verificare la chiusura in una semplice forma differenziale binomiale:
$omega=a_1dx+a_2dy -> a_1dx=a_2dy -> a_1/dy=a_2/dx$ Se è verificata l'uguaglianza la forma differenziale è chiusa.
Determinando successivamente la somma dei domini delle funzioni $a_1...a_j$ possiamo affermare che è ANCHE esatta se l'insieme trovato è stellato. E' sbagliato?
Inoltre, riguardo la mia ultima affermazione.. la somma dei domini deve essere un insieme stellato oppure ogni singolo dominio deve essere di per sè stellato?
Più correttamente se la forma differenziale è $\omega = \sum_{j=1}^N \omega_j dx_j$ la condizione di chiusura è $\frac{\partial \omega_j}{\partial x_i} = \frac{\partial \omega_i}{\partial x_j} \forall j\in \mathbb N, j <= N$.
Per quanto riguarda il dominio, questo è unico ed è definito per tutta la forma differenziale. Infatti questa è definita come $\omega: \Omega \to (\mathbb R^N)$ dove $(\mathbb R^N)$ è il duale di $\mathbb R^N$, ovvero l'insieme delle trasformazioni lineari da $\mathbb R^N$ ad $\mathbb R$ ed $\Omega$ è un aperto di $\mathbb R^N$.
Per quanto riguarda il dominio, questo è unico ed è definito per tutta la forma differenziale. Infatti questa è definita come $\omega: \Omega \to (\mathbb R^N)$ dove $(\mathbb R^N)$ è il duale di $\mathbb R^N$, ovvero l'insieme delle trasformazioni lineari da $\mathbb R^N$ ad $\mathbb R$ ed $\Omega$ è un aperto di $\mathbb R^N$.
Oltre a quanto detto da "Injo" c'è anche da dire che una forma non chiusa sarà sicuramente non esatta, mentre non vale il vice-versa!
Perfetto. Tutto chiaro
Scusate se riapro l'argomento ma ho trovato un esercizio che mi ha fatto venire dei dubbi.
Su come verificare la chiusura della forma differenziale non ci sono dubbi anche perchè mi sembra abbanstanza semplice ma credo di aver capito che:
- Se una forma differenziale non è chiusa allora non è esatta
- Se una forma differenziale è chiusa ed è definita in un dominio stellato allora è anche esatta
Il dubbio rimane... e se la forma differenziale è chiusa ma non è definito in un dominio stellato? io pensavo di poter dire che non è aperto ma ho trovato un esercizio su internet in cui una forma differenziale chiusa e di dominio stellato risulta alla fine esatta (nell'esercizio si procede integrando...).
Su come verificare la chiusura della forma differenziale non ci sono dubbi anche perchè mi sembra abbanstanza semplice ma credo di aver capito che:
- Se una forma differenziale non è chiusa allora non è esatta
- Se una forma differenziale è chiusa ed è definita in un dominio stellato allora è anche esatta
Il dubbio rimane... e se la forma differenziale è chiusa ma non è definito in un dominio stellato? io pensavo di poter dire che non è aperto ma ho trovato un esercizio su internet in cui una forma differenziale chiusa e di dominio stellato risulta alla fine esatta (nell'esercizio si procede integrando...).
Che vuol dire che la forma è aperta? Tieni conto che l'insieme di definizione delle forme differenziali deve essere "sempre" aperto, o al massimo la chiusura di un aperto. Poi, lo schemino è semplice:
forma esatta $=>$ forma chiusa;
forma chiusa $"NON"=>$ forma esatta;
forma chiusa + dominio sempl. connesso(*) $=>$ forma esatta.
Impararlo a memoria così è un po' difficile, effettivamente. Prova a capire almeno l'idea di fondo della dimostrazione di questi risultati, se vuoi ti aiuto.
____________________
(*) I domini stellati sono casi particolari dei domini semplicemente connessi.
forma esatta $=>$ forma chiusa;
forma chiusa $"NON"=>$ forma esatta;
forma chiusa + dominio sempl. connesso(*) $=>$ forma esatta.
Impararlo a memoria così è un po' difficile, effettivamente. Prova a capire almeno l'idea di fondo della dimostrazione di questi risultati, se vuoi ti aiuto.
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(*) I domini stellati sono casi particolari dei domini semplicemente connessi.
"dissonance":
Che vuol dire che la forma è aperta? Tieni conto che l'insieme di definizione delle forme differenziali deve essere "sempre" aperto, o al massimo la chiusura di un aperto. Poi, lo schemino è semplice:
forma esatta $=>$ forma chiusa;
forma chiusa $"NON"=>$ forma esatta;
forma chiusa + dominio sempl. connesso(*) $=>$ forma esatta.
Impararlo a memoria così è un po' difficile, effettivamente. Prova a capire almeno l'idea di fondo della dimostrazione di questi risultati, se vuoi ti aiuto.
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(*) I domini stellati sono casi particolari dei domini semplicemente connessi.
Innanzitutto grazie per l'aiuto. Riguardo la forma "aperta" intendevo dire "esatta" ho sbagliato a scrivere.. pardon
Per quanto riguarda i casi, quelli da te citati mi sono chiarissimi. Il dubbio è.. se ho una forma chiusa ma in un dominio non connesso semplicemente? posso subito dire che non è esatta? è questa l'implicazione su cui ho dubbi
No, non puoi dirlo.. Ad esempio $x/(x^2+y^2) dx + y/(x^2+y^2)dy$ è definita su $R^2-{(0,0)}$ che non è semplicemente connesso,ma è esatta
e quindi cosa dovrei fare in questo caso?
Quando la forma differenziale è chiusa ma il suo dominio non è semplicemente connesso come si procede?
Quando la forma differenziale è chiusa ma il suo dominio non è semplicemente connesso come si procede?
La definizione mi dice che:
Una forma differenziale lineare su di un aperto $WsubR$ è una forma esatta quando $Pdx+Qdy=dF(x,y)$ ossia quando le due funzioni P(x,y) e Q(x,y) definiscono un campo vettoriale conservativo che coincide con il gradiente di una funzione differenziabile F:
$(delF)/(delx)=P(x,y)$
$(delF)/(dely)=Q(x,y)$
Provo a ragionarci su. Intanto parla di una forma differeziale su un aperto W (penso dominio) quindi sia $omega$ forma differenziale di dominio chiuso a prescindere posso dire che non è esatta.
Riguardo la seconda parte della definizione io ho P(x,y) e Q(x,y) e so anche che sono uguali (altrimenti non è chiusa e so a priori che non è nemmeno esatta) però non so come lavorarci.. mi date qualche aiuto?
Una forma differenziale lineare su di un aperto $WsubR$ è una forma esatta quando $Pdx+Qdy=dF(x,y)$ ossia quando le due funzioni P(x,y) e Q(x,y) definiscono un campo vettoriale conservativo che coincide con il gradiente di una funzione differenziabile F:
$(delF)/(delx)=P(x,y)$
$(delF)/(dely)=Q(x,y)$
Provo a ragionarci su. Intanto parla di una forma differeziale su un aperto W (penso dominio) quindi sia $omega$ forma differenziale di dominio chiuso a prescindere posso dire che non è esatta.
Riguardo la seconda parte della definizione io ho P(x,y) e Q(x,y) e so anche che sono uguali (altrimenti non è chiusa e so a priori che non è nemmeno esatta) però non so come lavorarci.. mi date qualche aiuto?
"CyberCrasher":
Provo a ragionarci su. Intanto parla di una forma differeziale su un aperto W (penso dominio) quindi sia $omega$ forma differenziale di dominio chiuso a prescindere posso dire che non è esatta.
No, no, non ti confondere. Alcuni autori intendono per "dominio" la chiusura di un aperto, altri no, ma è poco rilevante ai fini pratici. Una forma differenziale è sempre definita su un aperto (o al massimo sulla chiusura di un aperto), altrimenti non te ne fai nulla. L'informazione che ti serve riguardo al dominio non è l'essere aperto o meno: è il tipo di connessione che ha, se è semplicemente connesso o no.
Se dovessi avere una forma differenziale definita su un aperto non semplicemente connesso, a priori non puoi dire nulla circa la sua esattezza. Devi necessariamente "sporcarti le mani" con qualche metodo: una possibilità è di integrare prima rispetto ad una variabile poi rispetto all'altra.
[edit] Vedi qui: https://www.matematicamente.it/forum/pri ... 32814.html
Forse ti può essere d'aiuto.
"dissonance":
Devi necessariamente "sporcarti le mani" con qualche metodo: una possibilità è di integrare prima rispetto ad una variabile poi rispetto all'altra.
Se ho la forma $omega=Adx+Bdy$ devo fare in pratica l'integrale doppio di Adx+Bdy? integrando dunque come dici tu prima per x e poi per y (o viceversa). Ma a questo punto dovendo essere conservativo dovrebbe venire 0 (quindi faccio integrale indefinito senza estremi di integrazione)
Aspé, no, non ti confondere. Ti dico il metodo in due parole.
Prendi la forma diff. $omega=Pdx+Qdy$, definita in un aperto $Omega\subRR^2$. Senza sapere nulla su $Omega$, e senza neanche sapere se $omega$ è chiusa o meno, puoi stabilire se $omega$ è esatta e eventualmente calcolarne una primitiva usando lo strumento dell'integrale indefinito. Infatti, supponiamo che $omega$ sia esatta, ovvero che esista $F:Omega\to RR$ tale che $dF=omega$. Deve allora essere ${delF}/{delx}=P$, quindi, integrando rispetto alla sola $x$, $F(x, y)=intP(x, y)"d"x +C(y)$. (Indico con $intP(x, y)"d"x$ una primitiva di $P$ vista come funzione della sola $x$. $y$ lo consideriamo un parametro.)
NOTA BENE: La costante $C$ tipica dell'integrazione indefinita dipende da $y$. E' chiaro il perché?
Ora poniamo $\bar{P}(x, y)=intP(x, y)"d"x$. Allora la relazione trovata diventa $F(x, y)=\bar{P}(x, y) +C(y)$. Ma ricordiamo che $df=omega$, quindi ${delF}/{dely}=Q$. Ricaviamo ${del}/{dely}[\bar{P}(x, y) +C(y)]=Q(x, y)$ da cui, se la forma è esatta, ricavare la $C(y)$. Se invece la forma non è esatta il procedimento si inceppa dopo la prima integrazione (ti prego di vedere questo link: https://www.matematicamente.it/forum/pri ... 32814.html , in cui è discusso un caso del genere, non farmi riscrivere tutto).
Prendi la forma diff. $omega=Pdx+Qdy$, definita in un aperto $Omega\subRR^2$. Senza sapere nulla su $Omega$, e senza neanche sapere se $omega$ è chiusa o meno, puoi stabilire se $omega$ è esatta e eventualmente calcolarne una primitiva usando lo strumento dell'integrale indefinito. Infatti, supponiamo che $omega$ sia esatta, ovvero che esista $F:Omega\to RR$ tale che $dF=omega$. Deve allora essere ${delF}/{delx}=P$, quindi, integrando rispetto alla sola $x$, $F(x, y)=intP(x, y)"d"x +C(y)$. (Indico con $intP(x, y)"d"x$ una primitiva di $P$ vista come funzione della sola $x$. $y$ lo consideriamo un parametro.)
NOTA BENE: La costante $C$ tipica dell'integrazione indefinita dipende da $y$. E' chiaro il perché?
Ora poniamo $\bar{P}(x, y)=intP(x, y)"d"x$. Allora la relazione trovata diventa $F(x, y)=\bar{P}(x, y) +C(y)$. Ma ricordiamo che $df=omega$, quindi ${delF}/{dely}=Q$. Ricaviamo ${del}/{dely}[\bar{P}(x, y) +C(y)]=Q(x, y)$ da cui, se la forma è esatta, ricavare la $C(y)$. Se invece la forma non è esatta il procedimento si inceppa dopo la prima integrazione (ti prego di vedere questo link: https://www.matematicamente.it/forum/pri ... 32814.html , in cui è discusso un caso del genere, non farmi riscrivere tutto).
Hai un'enorme pazienza e se fosse per me ti farei subito santo xD
Prima di andarmi a vedere il procedimento "particolare" che si trova nell'altro link vorrei vedere se ho capito bene provando a fare un esercizio così mi dici se sbaglio
Parto esattamente dal caso proposto da Bellatrix:
$omega=x/(x^2+y^2) dx + y/(x^2+y^2)dy$
$f(x,y)=intx/(x^2+y^2)dx=1/2log(x^2+y^2)+c(y)$
$(del(1/2log(x^2+y^2)+c(y)))/(dely)=y/(x^2+y^2) -> y/(x^2+y^2)+c'(y)=y/(x^2+y^2)$ quindi c è un qualunque numero finito (tanto derivato fa zero e rende vera l'uguaglianza)?
Nell'altro topic si parla di "dipendenza da c(y)". L'uguaglianza non deve dipendere da c'(y)? quindi in questo caso è esatta (come diceva bellatrix) mentre se eliminando c'(y) non si otteneva un'identità allora l'uguaglianza era dipendente dalla c(y) e non era esatta.
Confermi tutto? xD
Prima di andarmi a vedere il procedimento "particolare" che si trova nell'altro link vorrei vedere se ho capito bene provando a fare un esercizio così mi dici se sbaglio
Parto esattamente dal caso proposto da Bellatrix:
$omega=x/(x^2+y^2) dx + y/(x^2+y^2)dy$
$f(x,y)=intx/(x^2+y^2)dx=1/2log(x^2+y^2)+c(y)$
$(del(1/2log(x^2+y^2)+c(y)))/(dely)=y/(x^2+y^2) -> y/(x^2+y^2)+c'(y)=y/(x^2+y^2)$ quindi c è un qualunque numero finito (tanto derivato fa zero e rende vera l'uguaglianza)?
Nell'altro topic si parla di "dipendenza da c(y)". L'uguaglianza non deve dipendere da c'(y)? quindi in questo caso è esatta (come diceva bellatrix) mentre se eliminando c'(y) non si otteneva un'identità allora l'uguaglianza era dipendente dalla c(y) e non era esatta.
Confermi tutto? xD
A questo punto sviluppo anche l'esercizio postato all'inizio del topic:
$omega=(-y/(x^2+y^2)+y)dx+(x/(x^2+y^2)+x)dy$
derivo il primo termine rispetto a y e il secondo termine rispetto a x e trovo che sono uguali ovvero $(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2+1$ quindi $omega$ è chiusa.
Ma il dominio non è semplicemente connesso quindi:
$int(-y/(x^2+y^2)+y)dx=yx-arctg(x/y)+c(y)$
derivo rispetto a y e trovo: $x/(x^2+y^2)+x+c'(y)$ quindi c'(y)=0 e $omega$ è esatta.
Mi confermi i 2 esercizi svolti?
$omega=(-y/(x^2+y^2)+y)dx+(x/(x^2+y^2)+x)dy$
derivo il primo termine rispetto a y e il secondo termine rispetto a x e trovo che sono uguali ovvero $(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2+1$ quindi $omega$ è chiusa.
Ma il dominio non è semplicemente connesso quindi:
$int(-y/(x^2+y^2)+y)dx=yx-arctg(x/y)+c(y)$
derivo rispetto a y e trovo: $x/(x^2+y^2)+x+c'(y)$ quindi c'(y)=0 e $omega$ è esatta.
Mi confermi i 2 esercizi svolti?
Mmm.. a me questo metodo non pare corretto..
Ad esempio nel secondo caso che hai fatto, quello di $omega= (-y/(y^2+x^2)+y)dx+(x/(x^2+y^2)+x)dy$, se provi a integrare lungo una circonferenza di centro l'origine $gamma(t)=(r*cos(t),r*sin(t))$ viene un risutato non nullo (se non ho sbagliato qualche calcolo)..Quindi la forma non è esatta su $R^2-{(0,0)}$..
..sto anch'io preparando questo esame, quindi può darsi che sbagli qualcosa.. nel caso scusatemi
Ad esempio nel secondo caso che hai fatto, quello di $omega= (-y/(y^2+x^2)+y)dx+(x/(x^2+y^2)+x)dy$, se provi a integrare lungo una circonferenza di centro l'origine $gamma(t)=(r*cos(t),r*sin(t))$ viene un risutato non nullo (se non ho sbagliato qualche calcolo)..Quindi la forma non è esatta su $R^2-{(0,0)}$..
..sto anch'io preparando questo esame, quindi può darsi che sbagli qualcosa.. nel caso scusatemi
aspettiamo che qualche genio ci illumini
Ps. mi spieghi in cosa coinsiste il tuo metodo?
Ps. mi spieghi in cosa coinsiste il tuo metodo?
Una cosa fondamentale da sapere sulle forme differenziali lineari è la seguente equivalenza:
($omega$ forma diff. definita sull'aperto $Omega$ è esatta)$iff$(per ogni curva regolare a tratti e chiusa $gamma$ avente sostegno in $Omega$ risulta $int_gammaomega=0$).
(@CyberCrasher: Queste sono cose che devi sapere. Meglio risparmiare tempo facendo qualche esercizio in meno piuttosto che saltando questi capisaldi della teoria.)
Quindi Bellatrix ti sta mostrando che la tua forma $omega$ non è esatta. Comunque io non mi ritrovo con i conti, integrando sulle circonferenze di centro l'origine mi viene $0$. Chi sbaglia?
($omega$ forma diff. definita sull'aperto $Omega$ è esatta)$iff$(per ogni curva regolare a tratti e chiusa $gamma$ avente sostegno in $Omega$ risulta $int_gammaomega=0$).
(@CyberCrasher: Queste sono cose che devi sapere. Meglio risparmiare tempo facendo qualche esercizio in meno piuttosto che saltando questi capisaldi della teoria.)
Quindi Bellatrix ti sta mostrando che la tua forma $omega$ non è esatta. Comunque io non mi ritrovo con i conti, integrando sulle circonferenze di centro l'origine mi viene $0$. Chi sbaglia?
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