Forme differenziali a 2 variabili
Ciao a tutti,
manca poco alla data dell'esame e guardando i compiti che escono ho trovato un esercizio che riguarda le "Forme differenziali". L'esercizio chiede di verificare se esse sono aperte, chiuse, esatte...
Premetto che non conosco l'argomento e ho appena dato un'occhiata a wiki giusto per vedere di cosa si trattasse. Purtroppo non ho il tempo per approfondire e visto che l'esercizio è sempre uguale (ovviamente cambia la forma differenziale ma la domanda è sempre la stessa) ho cercato un po su internet il metodo di sviluppo ed eventualmente esercizi svolti.
So che chiedo tanto ma purtroppo sono costretto a farlo
Dato un esercizio di questo tipo:
A quanto ho capito bisogna fare la derivata in x della funzione dy.. e viceversa la derivata in y della funzione dx. Poi confrontandole si puo rispondere. Mi spiegate meglio questa cosa? Grazie
manca poco alla data dell'esame e guardando i compiti che escono ho trovato un esercizio che riguarda le "Forme differenziali". L'esercizio chiede di verificare se esse sono aperte, chiuse, esatte...
Premetto che non conosco l'argomento e ho appena dato un'occhiata a wiki giusto per vedere di cosa si trattasse. Purtroppo non ho il tempo per approfondire e visto che l'esercizio è sempre uguale (ovviamente cambia la forma differenziale ma la domanda è sempre la stessa) ho cercato un po su internet il metodo di sviluppo ed eventualmente esercizi svolti.
So che chiedo tanto ma purtroppo sono costretto a farlo
Dato un esercizio di questo tipo:
A quanto ho capito bisogna fare la derivata in x della funzione dy.. e viceversa la derivata in y della funzione dx. Poi confrontandole si puo rispondere. Mi spiegate meglio questa cosa? Grazie
Risposte
"dissonance":
Una cosa fondamentale da sapere sulle forme differenziali lineari è la seguente equivalenza:
($omega$ forma diff. definita sull'aperto $Omega$ è esatta)$iff$(per ogni curva regolare a tratti e chiusa $gamma$ avente sostegno in $Omega$ risulta $int_gammaomega=0$).
(@CyberCrasher: Queste sono cose che devi sapere. Meglio risparmiare tempo facendo qualche esercizio in meno piuttosto che saltando questi capisaldi della teoria.)
Quindi Bellatrix ti sta mostrando che la tua forma $omega$ non è esatta. Comunque io non mi ritrovo con i conti, integrando sulle circonferenze di centro l'origine mi viene $0$. Chi sbaglia?
Ma scusa quindi il metodo che mi hai dato tu non mi da conferma al 100% del risultato? fammi capire
(Scusa il ritardo, in questi giorni ho avuto da fare).
Ho controllato lo svolgimento del tuo secondo esercizio. C'è qualcosa che non va, non credi? La funzione che hai dichiarato essere primitiva in $RR^2-{(0, 0)}$ di $omega$ non è definita per $y=0$. Quindi non può essere una primitiva globale, e non ti devi stupire se Bellatrix ha trovato una curva chiusa $gamma$ tale che $int_{gamma}omega!=0$.
Ti scrivo come risolverei io l'esercizio, spero ti sia d'aiuto.
__________________________________________
Notazione: Nel seguito, data una funzione di due variabili $F=F(x, y)$, indico con $F_{y}=F_{y}(x)$ la funzione della sola variabile $x$ ottenuta fissando la $y$.
La forma diff. $omega(x, y)=(-y/(x^2+y^2)+y)"d"x+(x/(x^2+y^2)+x)"d"y$ è chiusa e definita nell'aperto $Omega=RR^2-{(0,0)}$ che è connesso ma non semplicemente connesso. Supponiamo che essa sia dotata di una primitiva globale, ovvero che esista una funzione differenziabile $F:Omega\toRR$ tale che $"d"F=omega$.
In particolare deve essere ${delF}/{delx}(x,y)=-y/(x^2+y^2)+y$, ovvero $F_{y}(x)$ è una primitiva di $-y/(x^2+y^2)+y$ per $y$ fissato.
Per integrare il secondo membro è necessario supporre che sia $y!=0$, restringiamo dunque l'insieme di definizione della $F$ a $Omega^**=Omega-{(x, y)\inRR^2\ :\ y=0}$. Per ogni $(x, y)\in Omega^**$ deve essere $F(x, y)=xy-arctan(x/y)+C(y)$, dove $C$ è una funzione derivabile dipendente dalla sola $y$.
Dall'ipotesi $"d"F=omega$ ricaviamo anche che ${delF}/{dely}(x, y)=x/(x^2+y^2)+x$, quindi che $x+x/(x^2+y^2)+C'(y)=x+x/(x^2+y^2)$. La funzione $C(y)=0$ verifica la precedente identità.
Abbiamo ottenuto $F(x, y)=xy-arctan(x/y)$, una primitiva di $omega$ nell'aperto $Omega^**$. Per ottenere tutte le primitive di $omega$ in $Omega^**$, osserviamo che questo aperto ha due componenti connesse, che chiamo $Omega_+={(x, y)\ :\ y>0}$ e $Omega_- ={(x, y)\ :\ y<0}$. Ogni altra primitiva di $omega$ deve differire da $F$ per una costante su ciascuna componente connessa: pertanto la famiglia delle primitive di $omega$ su $Omega^**$ è $F_{C_1, C_2}(x, y)={(xy-arctan(x/y)+C_1, y>0), (xy-arctan(x/y)+C_2, y<0):}$, al variare di $C_1, C_2\inRR$.
Resta da stabilire se esistano primitive definite su tutto $Omega$. A questo scopo cerchiamo di prolungare per continuità una delle $F_{C_1, C_2}$ determinando opportunamente le costanti. [NOTA: Conviene visualizzarsi geometricamente la cosa. Questa $F_{C_1, C_2}$ non è definita sull'asse delle $x$. Ora proviamo a fissare una $x$ e a fare tendere a zero la $y$ prima dall'alto poi dal basso. Così facendo ricaviamo delle condizioni da imporre a $C_1, C_2$.]
Per $x>0$ fissata, $lim_{y\to0^+}F_{C_1, C_2}(x, y)=-pi/2+C_1$; $lim_{y\to0^{-}}F_{C_1, C_2}(x, y)=pi/2+C_2$. Imponendo l'uguaglianza otteniamo la condizione $C_1-C_2=pi$.
Per $x<0$ fissata, $lim_{y\to0^+}F_{C_1, C_2}(x, y)=pi/2+C_1$; $lim_{y\to0^{-}}F_{C_1, C_2}(x, y)=-pi/2+C_2$.
Imponendo l'uguaglianza otteniamo la condizione $-C_1+C_2=pi$.
E' immediato verificare che il sistema lineare ${(C_1-C_2=pi), (-C_1+C_2=pi):}$ non ammette soluzione. Questo significa che non è possibile prolungare per continuità $F_{C_1, C_2}$ a tutto $Omega$, quindi non esiste una primitiva di $omega$ definita su tutto $Omega$.
__________________________________________
Non ti spaventare della lunghezza, ho scritto ogni passaggio sforzandomi di essere più dettagliato possibile, in realtà il lavoro da fare non è così tanto. Si tratta, però, soprattutto di lavoro teorico, la manualità dei conti serve a poco in queste cose. Il consiglio che ti dò, quindi, è di studiare un po' di teoria: vedrai che ti tornerà utile anche per un esame scritto.
Ho controllato lo svolgimento del tuo secondo esercizio. C'è qualcosa che non va, non credi? La funzione che hai dichiarato essere primitiva in $RR^2-{(0, 0)}$ di $omega$ non è definita per $y=0$. Quindi non può essere una primitiva globale, e non ti devi stupire se Bellatrix ha trovato una curva chiusa $gamma$ tale che $int_{gamma}omega!=0$.
Ti scrivo come risolverei io l'esercizio, spero ti sia d'aiuto.
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Notazione: Nel seguito, data una funzione di due variabili $F=F(x, y)$, indico con $F_{y}=F_{y}(x)$ la funzione della sola variabile $x$ ottenuta fissando la $y$.
La forma diff. $omega(x, y)=(-y/(x^2+y^2)+y)"d"x+(x/(x^2+y^2)+x)"d"y$ è chiusa e definita nell'aperto $Omega=RR^2-{(0,0)}$ che è connesso ma non semplicemente connesso. Supponiamo che essa sia dotata di una primitiva globale, ovvero che esista una funzione differenziabile $F:Omega\toRR$ tale che $"d"F=omega$.
In particolare deve essere ${delF}/{delx}(x,y)=-y/(x^2+y^2)+y$, ovvero $F_{y}(x)$ è una primitiva di $-y/(x^2+y^2)+y$ per $y$ fissato.
Per integrare il secondo membro è necessario supporre che sia $y!=0$, restringiamo dunque l'insieme di definizione della $F$ a $Omega^**=Omega-{(x, y)\inRR^2\ :\ y=0}$. Per ogni $(x, y)\in Omega^**$ deve essere $F(x, y)=xy-arctan(x/y)+C(y)$, dove $C$ è una funzione derivabile dipendente dalla sola $y$.
Dall'ipotesi $"d"F=omega$ ricaviamo anche che ${delF}/{dely}(x, y)=x/(x^2+y^2)+x$, quindi che $x+x/(x^2+y^2)+C'(y)=x+x/(x^2+y^2)$. La funzione $C(y)=0$ verifica la precedente identità.
Abbiamo ottenuto $F(x, y)=xy-arctan(x/y)$, una primitiva di $omega$ nell'aperto $Omega^**$. Per ottenere tutte le primitive di $omega$ in $Omega^**$, osserviamo che questo aperto ha due componenti connesse, che chiamo $Omega_+={(x, y)\ :\ y>0}$ e $Omega_- ={(x, y)\ :\ y<0}$. Ogni altra primitiva di $omega$ deve differire da $F$ per una costante su ciascuna componente connessa: pertanto la famiglia delle primitive di $omega$ su $Omega^**$ è $F_{C_1, C_2}(x, y)={(xy-arctan(x/y)+C_1, y>0), (xy-arctan(x/y)+C_2, y<0):}$, al variare di $C_1, C_2\inRR$.
Resta da stabilire se esistano primitive definite su tutto $Omega$. A questo scopo cerchiamo di prolungare per continuità una delle $F_{C_1, C_2}$ determinando opportunamente le costanti. [NOTA: Conviene visualizzarsi geometricamente la cosa. Questa $F_{C_1, C_2}$ non è definita sull'asse delle $x$. Ora proviamo a fissare una $x$ e a fare tendere a zero la $y$ prima dall'alto poi dal basso. Così facendo ricaviamo delle condizioni da imporre a $C_1, C_2$.]
Per $x>0$ fissata, $lim_{y\to0^+}F_{C_1, C_2}(x, y)=-pi/2+C_1$; $lim_{y\to0^{-}}F_{C_1, C_2}(x, y)=pi/2+C_2$. Imponendo l'uguaglianza otteniamo la condizione $C_1-C_2=pi$.
Per $x<0$ fissata, $lim_{y\to0^+}F_{C_1, C_2}(x, y)=pi/2+C_1$; $lim_{y\to0^{-}}F_{C_1, C_2}(x, y)=-pi/2+C_2$.
Imponendo l'uguaglianza otteniamo la condizione $-C_1+C_2=pi$.
E' immediato verificare che il sistema lineare ${(C_1-C_2=pi), (-C_1+C_2=pi):}$ non ammette soluzione. Questo significa che non è possibile prolungare per continuità $F_{C_1, C_2}$ a tutto $Omega$, quindi non esiste una primitiva di $omega$ definita su tutto $Omega$.
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Non ti spaventare della lunghezza, ho scritto ogni passaggio sforzandomi di essere più dettagliato possibile, in realtà il lavoro da fare non è così tanto. Si tratta, però, soprattutto di lavoro teorico, la manualità dei conti serve a poco in queste cose. Il consiglio che ti dò, quindi, è di studiare un po' di teoria: vedrai che ti tornerà utile anche per un esame scritto.
ma se anzichè usare questo metodo uso la semplice integrazione di omega sui percorsi chiusi verificando che sia zero non è più sbrigativo e immediato? (intendo il metodo che ha usato bellatrix
"CyberCrasher":
ma se anzichè usare questo metodo uso la semplice integrazione di omega sui percorsi chiusi verificando che sia zero non è più sbrigativo e immediato? (intendo il metodo che ha usato bellatrix
Certo, se riesci a trovare direttamente una curva chiusa su cui l'integrale non si annulla, puoi direttamente dire che la forma non è esatta.
Poco fa, riguardando i lucidi del mio prof, ho trovato un altro criterio che potrebbe essere utile in questi casi..te lo scrivo se ti può interessare
Teorema. "Data una forma differenziale chiusa definita su $RR^2-{(0,0)}$, se $EE$ una curva chiusa $C^1$ a tratti, tale che abbia indice di avvolgimento intorno all'origine non nullo e l'integrale della forma lungo di essa sia uguale a zero $rArr$ la forma è esatta."
Sostanzialmente in questo caso particolare puoi usare il metodo anche in positivo: basta che verifichi che l'integrale è zero su UNA curva chiusa contenente l'origine per poter dire che la forma è esatta.
ma scusa il tuo metodo (non quest'ultimo che hai postato) prevede di trovare una curva chiusa il cui lavoro non è nullo ma questo vuol dire che ti devi mettere a provare curve? E' un metodo ad intuito oppure fai un'integrazione generica che ti dice che TUTTE le curve sono 0? Mi posti l'esempio dell'esercizio di cui stiamo parlando?
Eventualmente se la risposta alla mia domanda è "ci vuole criterio" che criterio devo usare per decidere su quale curva verificare l'integrazione?
Eventualmente se la risposta alla mia domanda è "ci vuole criterio" che criterio devo usare per decidere su quale curva verificare l'integrazione?
"dissonance":
Poi, lo schemino è semplice:
forma esatta $=>$ forma chiusa;
forma chiusa $"NON"=>$ forma esatta;
forma chiusa + dominio sempl. connesso(*) $=>$ forma esatta.
Ciao "dissonance", non mi è chiara una cosa di quello che dici....
nel terzo caso, tu sostieni che:
"forma chiusa + dominio sempl. connesso $=>$ forma esatta".
...io, però ho pensato, se ho una forma differenziale di questo tipo:$(sen(x)+y)dx+xdy$
mi risulta essere una forma chiusa,perchè le derivate "in croce" sono uguali, ossia $1dxdy+1dydx$, ed in più il dominio su cui è definita è tutto $R$, quindi semplicemente connesso, ma nonostante ciò non è una forma esatta....
...quindi non riesco ad arrivarci, su quello che sostieni...aiutami, please!
Beh nell'esercizio che abbiamo considerato, così come nel teorema che ti ho scritto, la forma è definita su $RR^2-{(0,0)}$, quindi i problemi eventualmente ci sono nell'origine.. Quindi chiaramente non provi ad integrare la forma su una curva qualsiasi, ma su una che contenga l'origine,per semplicità io l'ho fatto su una circonferenza.. (se ci pensi su un qualsiasi semplicemente connesso che non contiene l'origine la forma è chiusa, e quindi esatta..perciò sicuramente su una curva chiusa non contenente l'origine l'integrale sarebbe nullo!)
L'esempio di cui parlavamo $omega= (-y/(x^2+y^2)+y)dx+(x/(x^2+y^2)+x)dy$ , prendiamo $gamma(t)=(r*cos(t),r*sin(t))$, $gamma'(t)=(-r*sin(t),r*cos(t))$
allora
$\int_gamma omega = \int_0^(2\pi) (-(r*sin(t))/r^2+r*sin(t),(r*cos(t))/r^2+r*cos(t))*(-r*sin(t),r*cos(t)) dt =$
$ =\int_0^(2\pi) (sin(t)^2-r^2*sin(t)^2+cos(t)^2+r^2cos(t)^2)dt= 2\pi+r^2*2\pi-2r^2*\int_0^(2\pi) sin(t)^2 dt=$
$ =2\pi+2r^2\pi-2r^2\pi=2\pi != 0$
Quindi puoi concludere che la forma non è esatta. Spero di non aver fatto errori, se hai dubbi chiedi pure
Edit: @Tinam perchè dici che la forma che hai scritto non è esatta? a me sembra che lo sia..
L'esempio di cui parlavamo $omega= (-y/(x^2+y^2)+y)dx+(x/(x^2+y^2)+x)dy$ , prendiamo $gamma(t)=(r*cos(t),r*sin(t))$, $gamma'(t)=(-r*sin(t),r*cos(t))$
allora
$\int_gamma omega = \int_0^(2\pi) (-(r*sin(t))/r^2+r*sin(t),(r*cos(t))/r^2+r*cos(t))*(-r*sin(t),r*cos(t)) dt =$
$ =\int_0^(2\pi) (sin(t)^2-r^2*sin(t)^2+cos(t)^2+r^2cos(t)^2)dt= 2\pi+r^2*2\pi-2r^2*\int_0^(2\pi) sin(t)^2 dt=$
$ =2\pi+2r^2\pi-2r^2\pi=2\pi != 0$
Quindi puoi concludere che la forma non è esatta. Spero di non aver fatto errori, se hai dubbi chiedi pure
Edit: @Tinam perchè dici che la forma che hai scritto non è esatta? a me sembra che lo sia..
Si "^bellatrix^" hai ragione!!!
sapresti, allora per cortesia, farmi un semplice esempio di
forma chiusa $NON->$ forma esatta
che equivale a dire
forma chiusa ma con dominio $NON$ semplicemente connesso $NON->$ forma esatta
grazie
sapresti, allora per cortesia, farmi un semplice esempio di
forma chiusa $NON->$ forma esatta
che equivale a dire
forma chiusa ma con dominio $NON$ semplicemente connesso $NON->$ forma esatta
grazie
Un esempio è esattamente l'esercizio che stavamo facendo sopra..o, se preferisci, del tutto analoga, basta questo pezzo $omega= (-y/(x^2+y^2))dx+(x/(x^2+y^2))dy$..altre sinceramente ora non me ne vengono in mente..
Per "^bellatrix^"
non capisco ancora una cosa...tu in un post sopra, dici che integri la forma su di una circonferenza perchè contiene l'origine, ma altrimenti se la integrassi su un'altra curva che non contiene l'origine, allora la forma sarebbe esatta.....ma non c'è un errore? nel senso io so che per essere esatta una forma deve ammettere una primitiva, e questo è al di là di dove la si integri....nel senso io verifico l'esistenza della primitiva non definendo l'integrale....perchè che conta è il dominio su cui è definita la forma, non lo spazio di integrazione...almeno io la sapevo così.....sbaglio?
non capisco ancora una cosa...tu in un post sopra, dici che integri la forma su di una circonferenza perchè contiene l'origine, ma altrimenti se la integrassi su un'altra curva che non contiene l'origine, allora la forma sarebbe esatta.....ma non c'è un errore? nel senso io so che per essere esatta una forma deve ammettere una primitiva, e questo è al di là di dove la si integri....nel senso io verifico l'esistenza della primitiva non definendo l'integrale....perchè che conta è il dominio su cui è definita la forma, non lo spazio di integrazione...almeno io la sapevo così.....sbaglio?
No no non ho detto questo, forse mi sono espressa male.. Intendevo dire che la forma, se considerata in un semplicemente connesso non contenente l'origine, ammette primitiva (Dissonance le ha trovate se non sbaglio, qualche post fa..), quindi se provassimo a integrare su una linea chiusa contenuta in tale insieme verrebbe zero.. Il problema è vedere se c'è una primitiva definita su tutto il dominio, ed è evidente che il punto problematico è proprio l'origine..Per questo gli suggerivo di provare a integrare lungo una linea chiusa contenente l'origine..
Comunque io credo che l'esattezza di una forma dipenda anche dal dominio in cui la si considera..era questo il problema? Può darsi benissimo che sbagli dicendo ciò, nel caso correggetemi
Comunque io credo che l'esattezza di una forma dipenda anche dal dominio in cui la si considera..era questo il problema? Può darsi benissimo che sbagli dicendo ciò, nel caso correggetemi
"^Bellatrix^":Certo. Questa è una cosa fondamentale ed è un tasto su cui ho cercato di battere il più possibile nella risoluzione dell'esercizio precedente.
Comunque io credo che l'esattezza di una forma dipenda anche dal dominio in cui la si considera...
Riprendiamo ad esempio la forma $omega$ di prima, definita e chiusa in $Omega=RR^2-{(0, 0)}$. Abbiamo capito che non è esatta, o perché lo abbiamo verificato direttamente come ho fatto io, o perché abbiamo trovato una circuitazione non nulla come hai fatto tu. Ma se restringiamo il dominio da $Omega$ a $Omega_\theta=RR^2-{t(cos\theta, sin\theta)\ :\ t>=0}$ (dove $0<=\theta<2\pi$; $Omega_theta$ è il piano privato di una semiretta nascente nell'origine), allora $omega$ è esatta, e non serve fare nessun conto: $Omega_\theta$ è semplicemente connesso e $omega$ è chiusa.
Per toccare con mano quanto detto riprendo dal mio post precedente la famiglia di funzioni $F_{(C_1, C_2)}(x, y)={(xy-arctan(x/y)+C_1, y>0), (xy-arctan(x/y)+C_2, y<0):}$, primitive di $omega$ nell'aperto $Omega^**=RR^2-{(x, y)\ :\ y=0}$. Prima ho concluso che nessuna scelta delle costanti $C_1, C_2$ permette a queste funzioni di prolungarsi a primitive di $omega$ su tutto $Omega$. E' invece possibile fare questo relativamente all'aperto $Omega_pi=RR^2-{"semiasse negativo delle "x}$: basta scegliere $C_2=C_1-pi$. Ad esempio $F_{(0, -pi)}(x, y)={(xy-arctan(x/y), y>0), (-pi/2, y=0\ x>0), (xy-arctan(x/y)-pi, y<0):}$ (il prolungamento è per continuità) è una primitiva di $omega$ in $Omega_pi$.
"^Bellatrix^":
Beh nell'esercizio che abbiamo considerato, così come nel teorema che ti ho scritto, la forma è definita su $RR^2-{(0,0)}$, quindi i problemi eventualmente ci sono nell'origine.. Quindi chiaramente non provi ad integrare la forma su una curva qualsiasi, ma su una che contenga l'origine,per semplicità io l'ho fatto su una circonferenza.. (se ci pensi su un qualsiasi semplicemente connesso che non contiene l'origine la forma è chiusa, e quindi esatta..perciò sicuramente su una curva chiusa non contenente l'origine l'integrale sarebbe nullo!)
L'esempio di cui parlavamo $omega= (-y/(x^2+y^2)+y)dx+(x/(x^2+y^2)+x)dy$ , prendiamo $gamma(t)=(r*cos(t),r*sin(t))$, $gamma'(t)=(-r*sin(t),r*cos(t))$
allora
$\int_gamma omega = \int_0^(2\pi) (-(r*sin(t))/r^2+r*sin(t),(r*cos(t))/r^2+r*cos(t))*(-r*sin(t),r*cos(t)) dt =$
$ =\int_0^(2\pi) (sin(t)^2-r^2*sin(t)^2+cos(t)^2+r^2cos(t)^2)dt= 2\pi+r^2*2\pi-2r^2*\int_0^(2\pi) sin(t)^2 dt=$
$ =2\pi+2r^2\pi-2r^2\pi=2\pi != 0$
Quindi puoi concludere che la forma non è esatta. Spero di non aver fatto errori, se hai dubbi chiedi pure
Edit: @Tinam perchè dici che la forma che hai scritto non è esatta? a me sembra che lo sia..
Negli appunti dei miei colleghi si usa lo stesso procedimento tra l'altro quindi forse è quello che il prof vuole.
Il tuo esempio è stato chiaro e ti sono grato per averlo postato però ho un dubbio.. in che modo stai considerando una circonferenza che passa per l'origine? Io vedo che sviluppi una funzione circonferenza con coordinate in funzione di seno e coseno ma non capisco in che modo questo c'entri con una circonferenza passante per l'origine. Fammi capire
Edit: Riflettendoci ho capito che c'era un traintendimento tra di noi perchè tu parlavi di circonferenza che conteneva l'origine e solo adesso capisco che volevi dire "contiene al suo interno" e non che il punto 0,0 facesse parte della circonferenza. Ho avuto una piccola confusione. A questo punto r tu ovviamente la lasci incognita ma potresti tranquillamente scegliere 1 arbitrariamente, perchè quel che conta è racchiudere il centro quindi una circonferenza di qualunque raggio va bene (anzi più piccolo è più semplici vengono i calcoli). E' corretto tutto?
Sì sì certo, scusami, intendevo una circonferenza che contiene al suo interno l'origine..(che ha indice di avvolgimento intorno all'origine non nullo, così non ci sono fraintendimenti )..
)..
"^Bellatrix^":
Sì sì certo, scusami, intendevo una circonferenza che contiene al suo interno l'origine..(che ha indice di avvolgimento intorno all'origine non nullo, così non ci sono fraintendimenti
perfetto allora tutto chiaro.. uso direttamente questo metodo per evitare di allungare e complicarmi la vita.
Prima verifico che le derivate parziali siano uguali per poter affermare che la forma sia chiusa. Se poi il dominio non è semplicemente aperto procedo con un'integrazione di un percorso contenente l'origine (anche perchè gli esercizi del mio prof hanno sempre come punto incerto l'origine). Grazie mille. Ciao
Ho ancora una domandina, scusate per la banalità, ma mi serve una delucidazione.....
perchè per essere esatta la forma, l'integrazione deve risultare nulla?
perchè per essere esatta la forma, l'integrazione deve risultare nulla?
è proprio la definizione di esattezza credo.
La definizione di forma differenziale esatta semplicemente indica il fatto che esiste un potenziale $U$ tale che $dU=\omega$. Dalla definizione discende un teorema che mette in evidenza il fatto che integrando una forma differenziale esatta su una curva allora il differenziale si può trovare semplicemente valutando la differenzia del potenziale agli estremi della curva (ovvero $\int_\gamma \omega = U(\gamma^1) - U(\gamma^0)$ con $\gamma^0$ e $\gamma^1$ estremi della curva, inizio e fine). Come corollario, se la curva è chiusa (ovvero gli estremi coincidono) l'integrale risulta nullo.
Si, come dice "Injo" se la forma è esatta, allora esisterà una primitiva $F$, quindi integrando il differenziale lungo una curva chiusa, otteniamo una sorta di
$F(A)-F(B)$ dove, appunto, essendo una curva chiusa il punto di partenza e quello di arrivo coincidono, dunque $A=B$, perciò $F(A)-F(B)=0$.
$F(A)-F(B)$ dove, appunto, essendo una curva chiusa il punto di partenza e quello di arrivo coincidono, dunque $A=B$, perciò $F(A)-F(B)=0$.
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