Forme differenziali

[Cenzin1]

Salve a tutti, ho da studiare seguente forma differenziale:

w=($y/(1+x*y)$+$e^x$)dx+($y^2$+1+$x/(1+x*y)$)dy

Il mio problema nasce dal fatto che non so come comportarmi quando il campo non è semplicemente connesso come (credo) in questo caso visto che (spero sia corretto) xy$!=$-1 (sarebbe un iperbole nel secondo e quarto quadrante inoltre).

Avevo pensato di continuare calcolando le derivate X'(x,y) rispetto a y e Y'(x,y) rispetto a x per vedere se coincidono e verificare se l'insieme è chiuso, ma poi? Come procedo? Deve esserci qualche teorema o qualcosa del genere che mi sfugge.
Ringrazio anticipatamente.

[coffee2]

$\mathbb R^2\setminus\{(x,y):xy=-1\}$ non è semplicemente connesso perché non è neanche connesso, ma le sue componenti connesse (le regioni in cui l'iperbole divide il piano) sono semplicemente connesse.

[Cenzin1]

Grazie per la risposta. Quindi a questo punto calcolando le derivate miste riesco a sapere se l'insieme è chiuso. E poi? Come dimostro che la forma differenziale sia esatta?

[coffee2]

Calcolando le derivate miste riesci a sapere se la forma è chiusa, non l'insieme. A quel punto, se la forma è chiusa c'è il lemma di Poincaré a dire che chiusa su semplicemente connesso implica esatta.

[Cenzin1]

Forse mi sfugge ancora qualcosa. Arrivato alla conclusione che la forma è chiusa su un insieme non semplicemente connesso, cosa posso fare per dimostrare che la forma sia esatta? Un pensiero mi dice di procedere così: continuare con l'analisi, e vedere se ammette primitiva. Se essa ammette primitiva allora vuol dire che la forma è esatta in R2 con xy diverso da -1 (ovvero è esatta nel mio dominio). Potrebbe andare?

[christian951]

esatto