Forma quadratica semidefinita positiva/negativa

[enr87]

mi sembra illogica la definizione:

sia la mia forma quadratica (siccome sono alle prese con analisi uso la matrice hessiana, ma il dubbio vale in generale):
è definita positiva se $ > 0 $ per ogni v diverso da 0
è semidefinita positiva se $ >= 0 $ per ogni v

ora stavo notando che nel caso di forma definita positiva, escludo il vettore v = 0, ma se invece lo includessi tutte le forme positive sarebbero semidefinite positive, perchè per v = 0 otterrei 0. dunque quello che non mi torna è perchè non si esclude il vettore nullo anche per le matrici semdefinite positive (risp negative).
grazie

[gugo82]

Beh, è normale che ogni matrice definita positiva sia anche semidefinita positiva... Un po' come dire che ogni numero positivo (i.e. $>0$) è anche non negativo (i.e. $>= 0$).

La definitezza positiva è una proprietà più forte della semidefinitezza positiva: ad esempio le forme individuate dalle matrici $H_1=((1,0),(0,2)),\ H_2=((1,0),(0,0))$ sono entrambe semidefinite positive, ma solo quella individuata da $H_1$ è definita positiva. Infatti si ha:

$\langle H_1v,v \rangle =v_1^2+2v_2^2 \quad$ e $\quad \langle H_1v,v \rangle =0 " se (e solo se) " v= o=(0,0)$,

mentre:

$\langle H_2v,v \rangle =v_1^2 \quad$ e $\quad \langle H_2v,v \rangle=0 " se (e solo se) " v= (0,v_2) " per ogni " v_2\in RR$,

cosicché mentre $\langle H_1v,v \rangle$ si annulla solo sul vettore nullo, $\langle H_2v,v \rangle$ si annulla anche lungo altre direzioni.

[robbstark1]

Hai ragione quando dici: "Tutte le forme positive sono semidefinite positive". Non vale però il viceversa ovviamente.
Per fare un'analogia è un po' come dire: "Triangoli uguali sono simili (con rapporto di similitudine pari a 1)". Ma non è vero che triangoli simili sono uguali.

[enr87]

fin qua ci sono.. ma dunque, se nella definizione di matrice semidefinita positiva escludessi v = 0 (perdona il gioco di parole), non cambierebbe nulla?

[gugo82]

Che intendi con "non cambierebbe nulla"?
Che con la nuova definizione individueresti sempre la stessa classe di forme quadratiche?

[enr87]

se dicessi "è semidefinita positiva se ≥ 0 per ogni v diverso da 0" cosa cambierebbe rispetto alla definizione di prima? le matrici definite positive rientrerebbero comunque in questa classe, e quelle semidefinite positive resterebbero sempre le stesse.. o no?

[gugo82]

Effettivamente, non cambierebbe nulla, giacché è evidente che per ogni matrice $H$ si ha $\langle Ho ,o\rangle = 0$.

Ma in realtà non è la definizione di forma semidefinita che dovrebbe essere cambiata, ma quella di forma definita: potresti dare la seguente:

"Una forma quadratica $\langle Hv ,v\rangle$ è definita positiva [risp. definita negativa] se e solo se essa è semidefinita positiva [risp. semidefinita negativa]e si annulla solo per $v=o$."

che è del tutto equivalente alla precedente epperò fa capire meglio cosa deve succedere davvero per avere definitezza.

[dissonance]

Rispondo io tanto è molto, molto semplice. Il caso $v=0$ non aggiunge né toglie nulla considerarlo perché tanto una forma quadratica vale sempre $0$ in $0$.

[edit] Nel frattempo ha risposto anche Gugo.

[enr87]

esattamente, era la risposta che volevo
chiarito, vi ringrazio per la disponibilità