Forma indeterminata-limiti notevoli

[Comeover]

$lim_(x->0) ((5^x-1)/(3x^+2))^x$
$ e ^(lim_(x->0)ln((5^x-1)/(3x^+2))x)$
$lim_(x->0)ln((5^x-1)/(3x^+2))x$
Come posso continuare la risuluzione senza usare gli sviluppi di Taylor e dove è possibile usando i limiti notevoli?

[quantunquemente]

il tuo limite è equivalente a quello di $(5^x-1)^x$
$5^x-1 ~ xln5$
quindi ti riconduci a
$ lim_(x -> 0^+)(xln5)^x=lim_(x -> 0^+) x^x=lim_(x -> 0^+) e^(xlnx) $
$ lim_(x -> 0^+) xlnx $ lo risolvi con De l'Hopital

[Comeover]

"quantunquemente":il tuo limite è equivalente a quello di $(5^x-1)^x$
$5^x-1 ~ xln5$

Dici questo perchè hai usato la gerarchia degli infinitesimi?

[donald_zeka]

Io penso abbia usato il limite notevole $ln(1+t)/t$, in generale si può dimostrare che $(a^t-1)/t$ per $t$ che tende a $0$ tende a $ln(a)$ operando la sostituzione $a^t-1=y$

[Comeover]

Perdonatemi si insisto ma vorrei ben capire lo svolgimento.
Non ho capito perchè 'quantunquemente' ha detto che il mio limite iniziale è equivalente a $(5^x-1)^x$

il passaggio con il quale si è portato alla forma
$(xln5)^x$ invece l'ho capito.

[francicko]

$lim_(x->0)((5^x-1)/(3x+2))^x $ $=lim_(x->0)((5^x-1)/2)^x $ $=lim_(x->0) ((5^x-1)^x)/(2^x)$ $=lim_(x->0) ((5^x-1)^x)/1$

[quantunquemente]

francicko ha colto il senso,anche se non è corretto il secondo passaggio
diciamo semplicemente che $ lim_(x -> 0) (1/(3x+2))^x=1 $