Forma indeterminata 0/0 con la tangente
Salve sto facendo diversi esercizi di Analisi I, sono bloccato da un'oretta su questo.
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{7tg^2 x- \sqrt[]{x} log_2 ({1+ \sqrt[3]{x}) }}{1-cos x} \)
Pensavo di usare il limite notevole su \(\displaystyle 1-cos x \) moltiplicando e dividendo per \(\displaystyle x^2 \) cosi fa 2.
Ma non so cosa fare col numeratore di sopra, l'idea che avevo era di raccogliere per \(\displaystyle tg^2 \) che fratto \(\displaystyle x^2 \) che si trovava nel denominatore di prima per l'operazione effettuata in precedenza fa \(\displaystyle 1 \).
Cosa mi consigliate?
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{7tg^2 x- \sqrt[]{x} log_2 ({1+ \sqrt[3]{x}) }}{1-cos x} \)
Pensavo di usare il limite notevole su \(\displaystyle 1-cos x \) moltiplicando e dividendo per \(\displaystyle x^2 \) cosi fa 2.
Ma non so cosa fare col numeratore di sopra, l'idea che avevo era di raccogliere per \(\displaystyle tg^2 \) che fratto \(\displaystyle x^2 \) che si trovava nel denominatore di prima per l'operazione effettuata in precedenza fa \(\displaystyle 1 \).
Cosa mi consigliate?
Risposte
il denominatore è asintotico a $1/2x^x$ e non a 2 e basta.
per il numeratore possiamo applicare gli sviluppi di Taylor di tangente e logaritmo. si riscrive perciò come:
$ 7x^2+o(x^2)-sqrtx root(3)x log_2 e +o(x^(5/6)) ~ -x^(5/6) log_2 e $
il limite allora diventa:
$ -(x^(5/6) 2log_2 e)/x^2 = -(2 log_2 e)/x^(7/6) $
ma questo si può calcolare solo per $0^+$. sicuro che il testo non dicesse così?
per il numeratore possiamo applicare gli sviluppi di Taylor di tangente e logaritmo. si riscrive perciò come:
$ 7x^2+o(x^2)-sqrtx root(3)x log_2 e +o(x^(5/6)) ~ -x^(5/6) log_2 e $
il limite allora diventa:
$ -(x^(5/6) 2log_2 e)/x^2 = -(2 log_2 e)/x^(7/6) $
ma questo si può calcolare solo per $0^+$. sicuro che il testo non dicesse così?
ah no certo che stupido che sono! 
ovviamente dobbiamo considerare solo $0^+$ perchè c'è la radice e quindi il campo di esistenza è solo $[0,+oo)$, quindi dobbiamo considerare solo $0^+$ e non anche $0^-$.
ovviamente dobbiamo considerare solo $0^+$ perchè c'è la radice e quindi il campo di esistenza è solo $[0,+oo)$, quindi dobbiamo considerare solo $0^+$ e non anche $0^-$.
L'unico modo per risolverlo è usando Taylor?
bhe qui Taylor l'ho usato al primo ordine, in pratica sono gli asintotici.
Essendo la prima volta che affronto un esercizio del genere, non ho idea di come poterlo risolvere.
nel senso che non sai cosa sono gli sviluppi asintotici o Taylor o la teoria degli o-piccolo?
puoi usare indistintamente uno di questi tre casi in questo esercizio.
per il numeratore una volta sviluppato puoi buttar via i termini di tipo $x^2$ perchè sono ininfluenti rispetto a $x^(5/6)$ per $x -> 0$ (questo per la gerarchia di infinitesimi)
per il denominatore torna molto utile lo sviluppo asintotico che si rifà al limite notevole del coseno.
puoi usare indistintamente uno di questi tre casi in questo esercizio.
per il numeratore una volta sviluppato puoi buttar via i termini di tipo $x^2$ perchè sono ininfluenti rispetto a $x^(5/6)$ per $x -> 0$ (questo per la gerarchia di infinitesimi)
per il denominatore torna molto utile lo sviluppo asintotico che si rifà al limite notevole del coseno.
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