Forma esatta

[etta.nico]

Non riesco a risolvere questo esercizio:
Provare che la forma $omega in C^(oo) (RR^2, (RR^2)*)$ definita da $omega(x,y) = (cos(xy) -(xy)*sin(xy)dx - x^2* sin(xy) dy $ è esatta e calcolarne una primitiva.

[serio89]

E c'è una dimostrazione semplice per cui una forma localmente esatta è chiusa e viceversa?
Ci ho pensato, ma non ho trovato un nesso.

[dissonance]

La cosa non banale è dimostrare che una forma chiusa è localmente esatta. Questo segue dal fatto che in un aperto di \(\mathbb{R}^n\) ogni punto ha un intorno semplicemente connesso (ad esempio, per \(n=2\), un cerchietto, oppure, per \(n=3\), una sferetta). Siccome una forma chiusa su un aperto semplicemente connesso è esatta, una forma chiusa è localmente esatta.

[serio89]

Ah, perfetto! E con quel messaggio nell'altro topic mi hai levato anche il dubbio su quando una forma chiusa è esatta.
Grazie!