Forma esatta
Non riesco a risolvere questo esercizio:
Provare che la forma $omega in C^(oo) (RR^2, (RR^2)*)$ definita da $omega(x,y) = (cos(xy) -(xy)*sin(xy)dx - x^2* sin(xy) dy $ è esatta e calcolarne una primitiva.
Provare che la forma $omega in C^(oo) (RR^2, (RR^2)*)$ definita da $omega(x,y) = (cos(xy) -(xy)*sin(xy)dx - x^2* sin(xy) dy $ è esatta e calcolarne una primitiva.
Risposte
Proverei direttamente a trovare una primitiva usando la definizione.
allora, la definizione dice hce una forma $omega in C^0 (d,X*)$ è esatta se $EE f in C^1 (D, RR)$ tale che $ omega(x) = df(x) AA x in D$.
E la primitiva è proprio $f$.
Quindi devo trovare $f in C^1 (RR^2, RR)$ . Trovo $f = -y*sin(xy) -y* sin (xy) -xy^2* cos(xy) - x^3*cos(xy) = -2y* sin (xy) -xy^2* cos(xy) - x^3*cos(xy)$ . è giusto?
E la primitiva è proprio $f$.
Quindi devo trovare $f in C^1 (RR^2, RR)$ . Trovo $f = -y*sin(xy) -y* sin (xy) -xy^2* cos(xy) - x^3*cos(xy) = -2y* sin (xy) -xy^2* cos(xy) - x^3*cos(xy)$ . è giusto?
allora la forma è esatta : basta che dimostri che posto w=a(x,y)dx+b(x,y)dy , a(x,y) e b(x.y) sono definite in un aperto semplicemente connesso, e poi devi dimostrare che la w è chiusa, se verifichi queste condizioni allora la forma è esatta
Solo un'osservazione: sarebbe stato più semplice calcolare
[tex]$f(x,y)=\int -x^2\sin(xy)\ dy=x\cos(xy)+g(x)$[/tex]
da cui
[tex]$f_x=\cos(xy)-xy\sin(xy)+g'(x)$[/tex]
per cui [tex]$g'(x)=0\ \Rightarrow\ g(x)=c\in\mathbb{R}$[/tex]. Pertanto le primitive sono [tex]$f(x,y)=x\cos(xy)+c$[/tex].
[tex]$f(x,y)=\int -x^2\sin(xy)\ dy=x\cos(xy)+g(x)$[/tex]
da cui
[tex]$f_x=\cos(xy)-xy\sin(xy)+g'(x)$[/tex]
per cui [tex]$g'(x)=0\ \Rightarrow\ g(x)=c\in\mathbb{R}$[/tex]. Pertanto le primitive sono [tex]$f(x,y)=x\cos(xy)+c$[/tex].
ciampax se non sbaglio questa operazione la puoi usare solo se la forma è esatta
Chiedo qui per evitare di aprire un nuovo topic: se una forma è data come $y*dx$, posso vederla come $0*dy + y*dx$?
Si.
Grazie. 
Mi è venuto un altro dubbio.
Qui: http://it.wikipedia.org/wiki/Forma_differenziale#Forme_chiuse_e_esatte dice che la forma $f(z)dz=1/z$ è chiusa.
Per definizione, una forma è chiusa se la sua derivata è $0$, ma la derivata di questa forma è $-1/z^2$.
Cos'è che mi sfugge?
Qui: http://it.wikipedia.org/wiki/Forma_differenziale#Forme_chiuse_e_esatte dice che la forma $f(z)dz=1/z$ è chiusa.
Per definizione, una forma è chiusa se la sua derivata è $0$, ma la derivata di questa forma è $-1/z^2$.
Cos'è che mi sfugge?
$f(z)dz=1/zdz=1/(x+iy)(dx+idy)=(x/(x^2+y^2)-(iy)/(x^2+y^2))(dx+idy)=(x/(x^2+y^2)dx+y/(x^2+y^2)dy)+i(-y/(x^2+y^2)dx+x/(x^2+y^2)dy)$
$f(z)dz=1/zdz=1/(x+iy)(dx+idy)=(x/(x^2+y^2)-(iy)/(x^2+y^2))(dx+idy)=(x/(x^2+y^2)dx+y/(x^2+y^2)dy)$$+i(-y/(x^2+y^2)dx+x/(x^2+y^2)dy)$
Ma quindi è non chiusa?
Edit: Ah, capito! Svolgendolo si semplifica tutto!
Grazie!
Ma quindi è non chiusa?
Edit: Ah, capito! Svolgendolo si semplifica tutto!
Grazie!
Sono $2$ forme distinte: con la prima calcoli la parte reale dell'integrale complesso, con la seconda la parte immaginaria. Entrambe sono chiuse, come puoi facilmente verificare.
dove l'hai presa questa definizione o.O
Quale definizione, sempre che sia rivolta a me la domanda.
"Pako.uni":
ciampax se non sbaglio questa operazione la puoi usare solo se la forma è esatta
Cosa che infatti è valida per questa forma!
"serio89":
Mi è venuto un altro dubbio.
Qui: http://it.wikipedia.org/wiki/Forma_differenziale#Forme_chiuse_e_esatte dice che la forma $f(z)dz=1/z$ è chiusa.
Per definizione, una forma è chiusa se la sua derivata è $0$, ma la derivata di questa forma è $-1/z^2$.
Cos'è che mi sfugge?
Mi pare che tu stia facendo confusione tra vari tipi di derivata. Una forma differenziale è chiusa quando il suo differenziale esterno è nullo, non c'entrano nulla le derivate ordinarie. E poi la forma differenziale indicata da wikipedia è \(\frac{1}{z}dz\), la scrittura \(f(z)dz=1/z\) adoperata da te ha poco senso. Vedi come nel membro sinistro di quella equazione compare una 1-forma e nel membro destro una funzione? Dimensionalmente non sta in piedi.
"dissonance":
[quote="serio89"]Mi è venuto un altro dubbio.
Qui: http://it.wikipedia.org/wiki/Forma_differenziale#Forme_chiuse_e_esatte dice che la forma $f(z)dz=1/z$ è chiusa.
Per definizione, una forma è chiusa se la sua derivata è $0$, ma la derivata di questa forma è $-1/z^2$.
Cos'è che mi sfugge?
Mi pare che tu stia facendo confusione tra vari tipi di derivata. Una forma differenziale è chiusa quando il suo differenziale esterno è nullo, non c'entrano nulla le derivate ordinarie. E poi la forma differenziale indicata da wikipedia è \(\frac{1}{z}dz\), la scrittura \(f(z)dz=1/z\) adoperata da te ha poco senso. Vedi come nel membro sinistro di quella equazione compare una 1-forma e nel membro destro una funzione? Dimensionalmente non sta in piedi.[/quote]
Purtroppo la forme differenziali le abbiamo fatte solo superficialmente, come, del resto, anche altri argomenti. Il differenziale esterno non l'ho mai sentito e, cercando informazioni sull'argomento su internet, mi sono imbattuto in vari altri termini a me nuovi come, ad esempio, spazio di Hilbert, rotore e stellato.
Io ho capito che una forma differenziale è una funzione in una o più variabili e dei rispettivi differenziali.
Si dice esatta se ammette potenziale, che è una sua primitiva. Se è esatta, di conseguenza è integrabile (e viceversa).
Se una forma è esatta è anche chiusa (ma non è detto il contrario), ovvero la sua derivata è nulla. Inoltre, una forma è chiusa se il suo integrale curvilineo su tutte le curve chiuse è nullo.
Poi, una forma differenziale esatta è sicuramente localmente esatta, ma non ho ben capito cosa voglia dire localmente esatta.
Infine, ma non ne sono sicuro, ho capito che se le derivate parziali sono uguali allora la forma è chiusa. Posso vederlo anche col metodo integro differenziale o con le Condizioni di Cauchy-Riemann. Inoltre, se una forma chiusa è di classe $C^1$ è anche irrotazionale, e se il dominio è semplicemente connesso, allora è anche esatta.
Che sia irrotazionale vuol dire che il suo rotore è zero, ma di definizioni senza il rotore (che non è mai stato nemmeno citato a lezione) non ne ho trovate.
Purtroppo hai molta confusione, devi cercare di mettere un po' d'ordine. Limitiamoci a 1-forme differenziali in sottoinsiemi aperti \(\Omega\) di \(\mathbb{R}^n\): esse possono essere definite come applicazioni continue di \(\Omega\) in \(\left[\mathbb{R}^n\right]^\star\) (spazio vettoriale duale di \(\mathbb{R}^n\), la cui base canonica, duale della base canonica di \(\mathbb{R}^n\), conveniamo di chiamare \(dx^1\ldots dx^n\)). Concretamente una 1-forma è una combinazione lineare di differenziali a coefficienti variabili :
\[\omega(\xi^1 \ldots \xi^n)=a_1(\xi^1 \ldots \xi^n) dx^1+\ldots + a_n(\xi^1 \ldots \xi^n)dx^n,\]
per funzioni continue \(a_1, a_2, \ldots, a_n\). Intuitivamente \(\omega\) assegna ad ogni punto dello spazio un "vettore infinitesimo".
Una 1-forma \(\omega\) è detta esatta quando esiste una funzione differenziabile \(F\colon\Omega\to \mathbb{R}\) tale che \(dF=\omega\). Operativamente ciò significa che
\[\frac{\partial F}{\partial x^j}=a_j, \quad j=1 \ldots n.\]
Una 1-forma è detta chiusa quando le derivate incrociate sono uguali, ovverosia
\[\frac{\partial a_i}{\partial x^j}=\frac{\partial a_j}{\partial x^i},\quad i, j =1 \ldots n.\]
Si dimostra che ogni forma esatta è anche chiusa e che ogni forma chiusa è anche esatta se \(\Omega\) è semplicemente connesso.
Ti conviene adottare queste definizioni. Stiamo parlando di una teoria che può essere affrontata a molti livelli successivi di complessità, ed è da questi livelli che arrivano i termini e le costruzioni da te citati nei post precedenti; ma da questi livelli ti arriva anche una grande confusione, da evitare accuratamente.
\[\omega(\xi^1 \ldots \xi^n)=a_1(\xi^1 \ldots \xi^n) dx^1+\ldots + a_n(\xi^1 \ldots \xi^n)dx^n,\]
per funzioni continue \(a_1, a_2, \ldots, a_n\). Intuitivamente \(\omega\) assegna ad ogni punto dello spazio un "vettore infinitesimo".
Una 1-forma \(\omega\) è detta esatta quando esiste una funzione differenziabile \(F\colon\Omega\to \mathbb{R}\) tale che \(dF=\omega\). Operativamente ciò significa che
\[\frac{\partial F}{\partial x^j}=a_j, \quad j=1 \ldots n.\]
Una 1-forma è detta chiusa quando le derivate incrociate sono uguali, ovverosia
\[\frac{\partial a_i}{\partial x^j}=\frac{\partial a_j}{\partial x^i},\quad i, j =1 \ldots n.\]
Si dimostra che ogni forma esatta è anche chiusa e che ogni forma chiusa è anche esatta se \(\Omega\) è semplicemente connesso.
Ti conviene adottare queste definizioni. Stiamo parlando di una teoria che può essere affrontata a molti livelli successivi di complessità, ed è da questi livelli che arrivano i termini e le costruzioni da te citati nei post precedenti; ma da questi livelli ti arriva anche una grande confusione, da evitare accuratamente.
Ok, grazie.
Invece è giusto dire che una forma è localmente esatta se è esatta in un intorno di ogni punto del suo dominio?
Invece è giusto dire che una forma è localmente esatta se è esatta in un intorno di ogni punto del suo dominio?
Si.
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