Forma differenziale su di una curva chiusa...

[menale1]

Carissimi ragazzi c'è un dubbio che vorrei condividere con voi. Se si è in un aperto connesso di $ RR ^n $ e si consideri una forma differenziale, questa è esatta se e solo se per ogni curva chiusa $ gamma $ $ int_(gamma)^() omega =0 $ . Ciò che mi chiedevo è se fosse possibile dire che trovando una curva chiusa definita nel dominio in cui "vive" la forma differenziale, tale che l'integrale lungo la curva della nostra forma sia nullo, allora è possibile dire che sia nulla ogni integrale della nostra forma lungo una qualunque curva definita nel dominio di partenza. Diciamo che ho condotto questa deduzione, facendone una sorta di costruzione "geometrica". Che ne dite?

[dissonance]

No. Non è sufficiente. L'integrale deve annullarsi su tutte le curve chiuse, non basta una sola. Certamente ci sono dei teoremi che ti vengono in aiuto, qui: tempo fa cercai di scrivere una piccola raccolta

post444685.html#p444685

[miuemia]

no perchè il fatto che sia nulla lungo una curva non vuol dire che sia nulla su tutte le curve.
prendi ad esempio $CC\setminus 0$ e considera la forma differenziale $dz/z$ allora per ogni curva chiusa che non "circonda" l'origine allora l'integrale di tale forma è nullo, mentre ad esempio lungo la circonferenza di centro l'origine e raggio uno l'integrale è diverso da zero.

[menale1]

"dissonance":No. Non è sufficiente.

Eh sì, riflettendoci, anche alla luce di quanto proposto da te in

"dissonance":post444685.html#p444685

ho fatto casi troppo particolari nelle mie supposizioni. Grazie mille per la dritta!

[menale1]

P.S. Senza darne peso tendevo ad inserirmi sempre in aperti semplicemente connessi!