Forma differenziale in $RR^3$
Ciao ragazzi ho un problema con una forma differenziale in tre variabili che non ho mai svolto finora.
La forma è questa:
$\omega=(x^2+y^2+z^2)dxdydz$.
Il problema lo trovo quando vado a calcolare il potenziale cioè devo fare l'integrale:
$int_()^() x^2dxdydz$
So che devo considerare $y$ e $z$ costanti ma come si procede? Sapreste aiutarmi per favore? Grazie
La forma è questa:
$\omega=(x^2+y^2+z^2)dxdydz$.
Il problema lo trovo quando vado a calcolare il potenziale cioè devo fare l'integrale:
$int_()^() x^2dxdydz$
So che devo considerare $y$ e $z$ costanti ma come si procede? Sapreste aiutarmi per favore? Grazie
Risposte
C'è qualcosa che non mi torna in ciò che dici: mi definiresti il concetto di "potenziale" per una 3-forma? (Cioè una forma che dipende da $dx\ dy\ dz$)?
Ciao ciampax. Ciò che so è che i coefficienti della forma sono le derivate parziali del campo e che sto cercando una primitiva $f$ della forma differenziale tale che: $df=\omega$. Ma il problema è che in generale un differenziale di una funzione in $RR^3$ come nel mio caso si scrive come: $Adx+Bdy+Cdz$ mentre dall'espressione della forma non mi viene così! Come faccio?
P.S. Ciampax è corretto per il prodotto esterno scrivere la forma in questo modo: $\omega=x^2dxdydz+y^2dxdydz+z^2dxdydz$ ??
P.S. Ciampax è corretto per il prodotto esterno scrivere la forma in questo modo: $\omega=x^2dxdydz+y^2dxdydz+z^2dxdydz$ ??
nessuno sa aiutarmi? 
Ah ecco. Era questo il succo della questione: una primitiva, in questo senso, esiste solo quando hai una 1-forma, ciè una forma del tipo $\omega=a\ dx+b\ dy+c\ dz$. Per una 3-forma questa cosa non vale. In generale, su $RR^3$, hai solo queste tipologie di forme
$\omega=a\ dx+b\ dy+c\ dz$ (1-forma)
$\Gamma=a\ dx\ dy+b\ dx\ dz+c \dy\ dz$ (2-forma)
$\Theta=a\ dx\ dy\ dz$ (3-forma)
e solo per il primo tipo ha senso chiedersi se esiste una funzione $f(x,y,z)$ tale che $df=\omega$. Negli altri casi, invece, se proprio vogliamo parlare di primitive (ma la terminologia non è questa) puoi chiederti se esistono una 1-forma tale che $d\omega=\Gamma$ oppure una 2.forma tale che $d\Gamma=\Theta$. Ma per fare ciò, la regola nota del determinare se la forma sia chiusa non vale più come prima.
In questo caso, avendosi $A=x^2+y^2+z^2$ dovresti riuscire a trovare una 2-forma $\Gamma$ come prima tale che sia verificata la relazione $a_z-b_y+c_x=A$.
$\omega=a\ dx+b\ dy+c\ dz$ (1-forma)
$\Gamma=a\ dx\ dy+b\ dx\ dz+c \dy\ dz$ (2-forma)
$\Theta=a\ dx\ dy\ dz$ (3-forma)
e solo per il primo tipo ha senso chiedersi se esiste una funzione $f(x,y,z)$ tale che $df=\omega$. Negli altri casi, invece, se proprio vogliamo parlare di primitive (ma la terminologia non è questa) puoi chiederti se esistono una 1-forma tale che $d\omega=\Gamma$ oppure una 2.forma tale che $d\Gamma=\Theta$. Ma per fare ciò, la regola nota del determinare se la forma sia chiusa non vale più come prima.
In questo caso, avendosi $A=x^2+y^2+z^2$ dovresti riuscire a trovare una 2-forma $\Gamma$ come prima tale che sia verificata la relazione $a_z-b_y+c_x=A$.
ok grazie ciampax! 
posto appena concludo qualcosa grazie ancora
posto appena concludo qualcosa grazie ancora
In ogni caso, a me sembra strano che ti venga richiesto il calclo di una primitiva. Potresti scrivere esplicitamente il testo dell'esercizio?
si ciampax mi si chiede di verificare se sono chiuse ed esatte e calcolarne una primitiva
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