Forma differenziale

[innersmile-votailprof]

Mi servirebbe sapere se questo esercizio è svolto bene. Potreste controllarlo? Grazie mille.

Studiare la forma differenziale

$omega= (1/2sqrt((1+y)/x))dx+(1/y+1/2sqrt((x)/(1+y)))$ e, se esatta, determinarne la primitiva che si annulla in $(1;1)$.



Come prima cosa ho studiato le derivate incrociate per vedere se $omega$ è chiusa.
$(\partialX)/(\partialy)= 1/2(1/(2sqrt((1+y)/x))x/(x^2))=1/(4xsqrt((1+y)/x))=1/(4sqrt(x(1+y)))$

$(\partialY)/(\partialx)= 1/2(1/(2sqrt(x/(1+y)))(1+y)/(1+y)^2)=1/(4(1+y)sqrt(x/(1+y)))=1/(4sqrt(x(1+y)))$

$(\partialX)/(\partialy)= (\partialY)/(\partialx)$ e quindi, $omega$ è chiusa e in un dominio semplicemente connesso è anche esatta.

A questo punto cerco la primitiva:
Integro $X$ -> $\intXdx= \int (1/2sqrt((1+y)/x))dx= 1/2sqrt(1+y)\int-1/(sqrtx)dx=sqrt(x(1+y))+c(y) = f(x,y)$

Ora $(\partialf(x,y))/(\partialy)= 1/(2sqrt(1+y))sqrtx+c'(y) $ che deve essere uguale a $= 1/y + 1/(2sqrt(1+y))sqrtx$
Quindi $c'(y)=1/y -> c(y)=log|y|+ c$, con $c in RR$

$f(1;1)= sqrt2+c=0 ->c=-sqrt2$

La primitiva che si annulla in $(1;1)$ sarà $f(x,y)=sqrt(x(1+y))+log|y|-sqrt2$

[innersmile-votailprof]

up!

[Lorin1]

si mi pare tutto corretto!