Forma differenziale

[fed_27]

Ciao a tutti sto facendo vari esercizi di compiti d'esame degli anni passati voelvo sapere se i passggi di quest'esercizio sono svolti correttamente

studiare la seguente forma differenziale
$w=(2x-y)/(x^2+y^2)dx-(x+2y)/(x^2+y^2)dy$
allora derivo a(x,y) e b(x,y) e trovo che è chiusa ma tuttavia non esatta (dico bene?)
infatti subito dopo chiede
calcolarne l'integrale curvilineo lungo una circonferenza di centro origine e raggio 1
quindi scrivo le equazioni paramentriche della circonferenza
e ottengo un integrale che fa $2pi$

visto che la circonferenza è una curva chiusa la forma non è esatta.
domande:
studiare la forma significa solo verificare se è chiusa e magari esatta?
devo prendere in considerazione anche dove è definita la forma differenziale?(credo di si ma voglio essere sicuro)
in tal caso per vedere dov'è definita procedo come una normale funzione?
i dubbi sono dovuti al fatto che sul libro ci sono pochi esempi e che in classe non ne abbiamo fatti tantissimi
grazie

[dissonance]

"fed27":Ciao a tutti sto facendo vari esercizi di compiti d'esame degli anni passati voelvo sapere se i passggi di quest'esercizio sono svolti correttamente

studiare la seguente forma differenziale
$w=(2x-y)/(x^2+y^2)dx-(x+2y)/(x^2+y^2)dy$
allora derivo a(x,y) e b(x,y) e trovo che è chiusa ma tuttavia non esatta (dico bene?)
infatti subito dopo chiede
calcolarne l'integrale curvilineo lungo una circonferenza di centro origine e raggio 1
quindi scrivo le equazioni paramentriche della circonferenza
e ottengo un integrale che fa $2pi$
visto che la circonferenza è una curva chiusa la forma non è esatta.

Se i conti sono giusti (non li ho controllati), è tutto a posto.

domande:
studiare la forma significa solo verificare se è chiusa e magari esatta?

Questo dovresti chiederlo al tuo esercitatore; in genere sì. Se la forma è esatta può essere che ti si chieda di trovarne una primitiva.

devo prendere in considerazione anche dove è definita la forma differenziale?(credo di si ma voglio essere sicuro)
in tal caso per vedere dov'è definita procedo come una normale funzione?

Si, certo, è una informazione che ti serve e che puoi ottenere nella maniera solita delle "normali" funzioni (come dici tu). Ricordati che se una forma differenziale è chiusa in un aperto semplicemente connesso allora è esatta, nella stessa maniera in cui un campo vettoriale irrotazionale in un aperto semplicemente connesso è conservativo (nel caso in cui quest'ultima proposizione ti sia più familiare).

Globalmente mi pare che tu abbia capito i punti fondamentali.

[fed_27]

"dissonance":[quote="fed27"]Ciao a tutti sto facendo vari esercizi di compiti d'esame degli anni passati voelvo sapere se i passggi di quest'esercizio sono svolti correttamente

studiare la seguente forma differenziale
$w=(2x-y)/(x^2+y^2)dx-(x+2y)/(x^2+y^2)dy$
allora derivo a(x,y) e b(x,y) e trovo che è chiusa ma tuttavia non esatta (dico bene?)
infatti subito dopo chiede
calcolarne l'integrale curvilineo lungo una circonferenza di centro origine e raggio 1
quindi scrivo le equazioni paramentriche della circonferenza
e ottengo un integrale che fa $2pi$
visto che la circonferenza è una curva chiusa la forma non è esatta.

Se i conti sono giusti (non li ho controllati), è tutto a posto.

domande:
studiare la forma significa solo verificare se è chiusa e magari esatta?

Questo dovresti chiederlo al tuo esercitatore; in genere sì. Se la forma è esatta può essere che ti si chieda di trovarne una primitiva.

devo prendere in considerazione anche dove è definita la forma differenziale?(credo di si ma voglio essere sicuro)
in tal caso per vedere dov'è definita procedo come una normale funzione?

Si, certo, è una informazione che ti serve e che puoi ottenere nella maniera solita delle "normali" funzioni (come dici tu). Ricordati che se una forma differenziale è chiusa in un aperto semplicemente connesso allora è esatta, nella stessa maniera in cui un campo vettoriale irrotazionale in un aperto semplicemente connesso è conservativo (nel caso in cui quest'ultima proposizione ti sia più familiare).

Globalmente mi pare che tu abbia capito i punti fondamentali.[/quote]
grazie mille senti ho fatto un altro post sempre riguardante le forme differenziali , non che puoi dargli un occhiata cosi elimino gli ultim dubbi che ho
grazie mille