Forma differenziale
Buonasera a tutti vorrei chiedere il vostro aiuto su questo esercizio di analisi 2:
Determinare $A$ $\subset$ $\mathbb{R}$ in modo tale che la forma differenziale $\omega$ = $(Ay)/(x+y)^2 dx $ - $(2x)/(x+y)^2 dy$ risulti chiusa nel suo dominio naturale.
Io ho calcolato il dominio e mi viene $\mathbb{R^2}$ \ ${x=-y}$ e ho calcolato le derivate parziali delle componenti, la prima componente rispetto a y e la seconda rispetto a x, e per dire che è una forma chiusa ho imposto l'uguaglianza.
Mi ritrovo una cosa del genere: $ (A(x^2+y^2 +2xy) - Ay(2y+2x))/(x+y)^4$ = $ (-2(x^2+y^2 + 2xy) + 2x(2x+2y))/(x+y)^4$
e a questo punto mi aspettavo di dire che $A=-2$ ma c'è una x e una y di differenza al numeratore.
La mia domanda è: ho sbagliato io oppure è giusto? L'esercizio chiede poi di usare il valore trovato per calcolare un integrale curvilineo e fa parte degli esercizi d'esame del mio professore.
Grazie a chiunque mi darà una mano!
Determinare $A$ $\subset$ $\mathbb{R}$ in modo tale che la forma differenziale $\omega$ = $(Ay)/(x+y)^2 dx $ - $(2x)/(x+y)^2 dy$ risulti chiusa nel suo dominio naturale.
Io ho calcolato il dominio e mi viene $\mathbb{R^2}$ \ ${x=-y}$ e ho calcolato le derivate parziali delle componenti, la prima componente rispetto a y e la seconda rispetto a x, e per dire che è una forma chiusa ho imposto l'uguaglianza.
Mi ritrovo una cosa del genere: $ (A(x^2+y^2 +2xy) - Ay(2y+2x))/(x+y)^4$ = $ (-2(x^2+y^2 + 2xy) + 2x(2x+2y))/(x+y)^4$
e a questo punto mi aspettavo di dire che $A=-2$ ma c'è una x e una y di differenza al numeratore.
La mia domanda è: ho sbagliato io oppure è giusto? L'esercizio chiede poi di usare il valore trovato per calcolare un integrale curvilineo e fa parte degli esercizi d'esame del mio professore.
Grazie a chiunque mi darà una mano!
Risposte
Mi rispondo da solo e lascio il post, magari servirà a qualcuno...a quel punto ho raccolto $x+y$ ed ho ottenuto come risultato 2
Meno male che ci sono arrivato da solo dai
Meno male che ci sono arrivato da solo dai
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