Forma bilineare
Qualcuno saprebbe come dimostrare la seguente equivalenza:
B(x,y) è limitata $iff$ B(x,y) è continua
dove B(x,y) è una forma bilineare B: $H x H -> RR$ (H uno spazio di Hilbert) e con B limitata intendo: $EE$ C $in RR$ tale che $AA$ x,y $in H$ abbiamo B(x,y)$<=$ C*||x||*||y||
(||.||: norma indotta dal prodotto scalare su H)
Me lo chiedo perché viene utilizzato nel mio corso, ma non mi sembra evidente...
Grazie
B(x,y) è limitata $iff$ B(x,y) è continua
dove B(x,y) è una forma bilineare B: $H x H -> RR$ (H uno spazio di Hilbert) e con B limitata intendo: $EE$ C $in RR$ tale che $AA$ x,y $in H$ abbiamo B(x,y)$<=$ C*||x||*||y||
(||.||: norma indotta dal prodotto scalare su H)
Me lo chiedo perché viene utilizzato nel mio corso, ma non mi sembra evidente...
Grazie
Risposte
Ci provo... non sò se riuscirò ad essere del tutto rigoroso...
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Sia $B$ limitata. Allora andiamo a calcolare:
$ B(x+\Deltax,y+\Delta y) - B(x,y) = B(x,\Delta y) + B(\Delta x , y) + B (\Delta x, \Delta y ) $
Da cui abbiamo:
$ | B(x+\Deltax,y+\Delta y) - B(x,y) | \leq C ( ||x|| || \Delta y || + || \Delta x || || y || + || \Delta x || || \Delta y ||) $
Usando la limitatezza. Ovvero abbiamo:
$ \lim_{|| \Delta x || , || \Delta y || \to 0^+} | B(x+\Deltax,y+\Delta u) - B(x,y) | = 0 $
----------------------------------------------------------
Sia ora $B$ continua. Sia per assurdo anche $B$ illimitata. Questo significa che esiste un insieme $\Omega_M \subset H \times H$ tale per cui:
$ | B(x,y) | > M || x || || y || \qquad \qquad \forall (x,y) \in \Omega_M \ne O/ $
si nota il maggiore stretto frutto della negazione logica della definizione di limitatezza. Chiaramente abbiamo $ ({ (0,\cdot) } \cup {(\cdot,0) }) \cap \Omega_M = O/$ visto che una forma bilineare valutata in zero è nulla. Questo ci garantisce il fatto che esista almeno una regione di $H \times H$ che non è contenuta in $\Omega_M$. Sia ora $(x,y) \in \Omega_M$ e $(x+u,y)$ non appartenente a $\Omega_M$.
Siccome $(x+u ,y) $ NON appartiene a $\Omega_M$ possiamo scrivere:
$ | B (x+u, y) | \leq M ( || x +u || || y|| ) \leq M ( || x || || y || + || u || || y || ) $
anche in virtù della disuguaglianza triangolare.
D'altronde $(x,y)$ appartiene a $\Omega_M$ quindi:
$ | B ( x+u , y ) | = | B (x,y) + B(u,y) | > | B (u,y) + M || x || || y || | $
Abbiamo, quindi:
$ | B (x+u,y) | \leq M || x || || y || + M || y || || u || \qquad | B(u,y) + M || x || || y || | < | B (x+u,y) | $
facendo tendere $||u||$ a zero per la continuità abbiamo:
$ | B(x,y) | \leq M ||x|| || y || \qquad | B(x,y) | > M || x || || y || $
il che è assurdo.
*** EDIT ***
Forse riconducendosi agli operatori lineari e al semplice teorema di equivalenza fra continuità e limitatezza per questi ultimi se ne veniva fuori più facilmente....
*** EDIT 2 ***
Avevo dimenticato tutti i moduli....
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Sia $B$ limitata. Allora andiamo a calcolare:
$ B(x+\Deltax,y+\Delta y) - B(x,y) = B(x,\Delta y) + B(\Delta x , y) + B (\Delta x, \Delta y ) $
Da cui abbiamo:
$ | B(x+\Deltax,y+\Delta y) - B(x,y) | \leq C ( ||x|| || \Delta y || + || \Delta x || || y || + || \Delta x || || \Delta y ||) $
Usando la limitatezza. Ovvero abbiamo:
$ \lim_{|| \Delta x || , || \Delta y || \to 0^+} | B(x+\Deltax,y+\Delta u) - B(x,y) | = 0 $
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Sia ora $B$ continua. Sia per assurdo anche $B$ illimitata. Questo significa che esiste un insieme $\Omega_M \subset H \times H$ tale per cui:
$ | B(x,y) | > M || x || || y || \qquad \qquad \forall (x,y) \in \Omega_M \ne O/ $
si nota il maggiore stretto frutto della negazione logica della definizione di limitatezza. Chiaramente abbiamo $ ({ (0,\cdot) } \cup {(\cdot,0) }) \cap \Omega_M = O/$ visto che una forma bilineare valutata in zero è nulla. Questo ci garantisce il fatto che esista almeno una regione di $H \times H$ che non è contenuta in $\Omega_M$. Sia ora $(x,y) \in \Omega_M$ e $(x+u,y)$ non appartenente a $\Omega_M$.
Siccome $(x+u ,y) $ NON appartiene a $\Omega_M$ possiamo scrivere:
$ | B (x+u, y) | \leq M ( || x +u || || y|| ) \leq M ( || x || || y || + || u || || y || ) $
anche in virtù della disuguaglianza triangolare.
D'altronde $(x,y)$ appartiene a $\Omega_M$ quindi:
$ | B ( x+u , y ) | = | B (x,y) + B(u,y) | > | B (u,y) + M || x || || y || | $
Abbiamo, quindi:
$ | B (x+u,y) | \leq M || x || || y || + M || y || || u || \qquad | B(u,y) + M || x || || y || | < | B (x+u,y) | $
facendo tendere $||u||$ a zero per la continuità abbiamo:
$ | B(x,y) | \leq M ||x|| || y || \qquad | B(x,y) | > M || x || || y || $
il che è assurdo.
*** EDIT ***
Forse riconducendosi agli operatori lineari e al semplice teorema di equivalenza fra continuità e limitatezza per questi ultimi se ne veniva fuori più facilmente....
*** EDIT 2 ***
Avevo dimenticato tutti i moduli....
grazie 1000 david_e
Credo pure io che il mio prof si riferisse a qualche teorema ...però non avendo accennato niente ...
ciao!
Credo pure io che il mio prof si riferisse a qualche teorema ...però non avendo accennato niente ...
ciao!
"david_e":
$ | B ( x+u , y ) | = | B (x,y) + B(u,y) | > | B (u,y) + M || x || || y || | $
Questo passaggio è valido solo nell'ipotesi (non limitante) che $B(x,y)\geq 0$...
Comunque non fidarti troppo della dimostrazione perchè l'ho fatta io... la prima parte l'ho fatta ispirandomi all'analogo risultato per i funzionali lineari, la seconda è tutta inventata perchè non sapevo quale definizione avessi studiato per "continuità" della forma bilinare: sul mio libro la continuità è identificata per definizione con la limitatezza: la fomra $B$ si dice continua se:
$ B(x,y) \leq C || x || || y || $
ma immagino che questa sia solo una semplificazione fatta dal mio libro visto che si tratta di un libro per ingegneri.
Beh, uno spazio di Hilbert è uno spazio topologico, il prodotto dello spazio per se stesso si prende la topologia prodotto, $RR$ è uno spazio topologico con la topologia euclidea, dunque la continuità è perfettamente definita.
E naturalmente poi la si caratterizza in modo più cristiano.
E naturalmente poi la si caratterizza in modo più cristiano.
"Maxos":
Beh, uno spazio di Hilbert è uno spazio topologico, il prodotto dello spazio per se stesso si prende la topologia prodotto, $RR$ è uno spazio topologico con la topologia euclidea, dunque la continuità è perfettamente definita.
E naturalmente poi la si caratterizza in modo più cristiano.
Si appunto, ovviamente con la definizione che avevo in mano io di continuità la dimostrazione era una roba idiota. Usando come definizione quella del limite (che è la definizione più intuitiva) era un po' più complicato.
Comunque ti sembra giusta la dim.?
Moralmente mi sembra andar bene, però non metto firme perché l'ho scorsa piuttosto speditamente, domani ti rispondo, a meno che non mi prevenga qualcun altro
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