Flusso uscente di un campo vettoriale

[edok93]

Salve, devo calcolare il flusso uscente del campo vettoriale F(x,y,z)=( z(y^2)-2x, 1/4 yz+(z^2), xy+2(x^2)+2z)
da Ω={(x,y,z)∈ R^3 |x^2+y^2+z^2≤ 16, z≤ sqrt(x^2+y^2) }
Ho provato a calcolarlo applicando il teorema della divergenza, quindi calcolando la divergenza, che mi viene = z/4 e facendo il passaggio in coordinate cilindriche, integrando (z/4)*r con
0 0<\theta<2\pi
-2*sqrt(2)

[Scotti1]

Ciao edok93
per i prossimi post, se racchiudi le formule tra i $$ risultano più leggibili.

In ogni caso non puoi fare così in quanto, come dicevi tu, il dominio
$Ω={(x,y,z)∈ R^3 |x^2+y^2+z^2≤ 16, z≤ sqrt(x^2+y^2) }$

è quello che sta dentro una sfera di raggio 4 tolto il cono
$z≤ sqrt(x^2+y^2)$

Quindi l'integrale lo devi dividere in due tronconi:

$ int int int_(Omega )^() z/4dx dy dz = I_1 +I_2 =int int int_(-sqrt(16-x^2-y^2) )^(sqrt(16-x^2-y^2)) z/4dx dy dz +int int int_(-sqrt(16-x^2-y^2) )^(sqrt(x^2+y^2)) z/4dx dy dz $

dove l'integrale $I_1$ vale per

$ (x^2+y^2)>= 8 $

mentre l'integrale $I_2$ vale per

$ (x^2+y^2)< 8 $

Risolvendo gli integrali ti accorgerai che $I_1 =0$ mentre $I_2 != 0$
Provaci

SSSSC (spero sia stato sufficientemente chiaro)

Bye

[edok93]

Ciao, l'integrale è venuto, anche se dovevi scrivere che $I1$ vale per $ x^2+y^2>=8 $ e i2 pure ma <8 ma ho capito comunque. Ho cercato di capire come hai ricavato gli estremi giusti di z in cui vanno integrati i due integrali ma non l'ho capito, mi potresti spiegare più in dettaglio i passaggi per ricavarli?

[Scotti1]

Bravissimo.

"edok93":Ciao, l'integrale è venuto, anche se dovevi scrivere che $ I1 $ vale per $ x^2+y^2>=8 $ e i2 pure ma <8 ma ho capito comunque.

Hai ragione mi sono scappate in battitura le radici.

"edok93":Ho cercato di capire come hai ricavato gli estremi giusti di z in cui vanno integrati i due integrali ma non l'ho capito, mi potresti spiegare più in dettaglio i passaggi per ricavarli?

In ogni caso gli estremi li ricavi dal dominio $Omega ={(x,y,z)∈ R^3 |x^2+y^2+z^2≤ 16, z≤ sqrt(x^2+y^2) }$

In effetti se vedi, deve anche valere

$sqrt(16-x^2-y^2)<= sqrt(x^2+y^2)$

Spero sia sufficiente

Bye