Flusso uscente da una calotta

[Exelion]

Ciao, ecco l'esercizio sul quale avrei dei dubbi (è una parte di un esame di analisi 2 di ingegneria)

Si considerino la calotta $ S={(x,y,z): x^2+y^2+z^2=2, z>=1} $ e il campo vettoriale $ F(x,y,z)=(e^(1/(z^2+1)), xy-x^3z, xz+y^3) $

Determinare il flusso di F uscente da S.

Utilizzo il teorema della divergenza: divF=0+x+x=2x

$ int int int 2x dx dy dz $

Parametrizzo in u e v (ometto alcuni passaggi in quanto già verificati nel punto precedente dell'esercizio)

$ { ( x=u ),( y=v ),( z=sqrt(2-x^2-y^2) ):} $

$ || n|| = sqrt(2/(2-u^2-v^2)) $

Quindi l'integrale diventa

$ int int_(K)^() 2usqrt(2/(2-u^2-v^2))du dv $ con $ K={(u,v):u^2+v^2<=1} $

Passo in coordinate polari

$ { ( u=rhocos vartheta ),( v=rhosin vartheta ):} $

$ 2sqrt2int_(0)^(2pi ) cosvartheta dvartheta int_(0)^(1) rho ^2/(2-rho ^2) drho =0 $

E' tutto giusto? Ha senso che venga 0? Devo forse considerare in qualche modo anche il flusso che attraversa il "tappo" di base della calotta? Grazie

[Exelion]

Ok, ora è molto più chiaro, grazie mille!

Poi ci sarebbe il terzo punto, sempre dello stesso esercizio, che chiede di calcolare la circuitazione di F lungo il bordo di S orientato positivamente rispetto all'asse delle z. Cosa faccio, continuo qua o apro un nuovo topic? Perchè i dati del testo sono i medesimi (F e S sono gli stessi di prima).

[Exelion]

Ho provato con il rotore ma viene troppo complicato. Uso allora la definizione.

$ F(s(θ))=(e^(1/2), cosvarthetasinvartheta -cos^3vartheta , cosvartheta +sin^3vartheta ) $

$ s′(θ)=(-sinvartheta , cosvartheta , 0) $

L'integrale diventa:

$ int_(0)^(2pi )F(s(θ))⋅s′(θ)dθ=int_(0)^(2pi ) (-sintheta\cdot e^(1/2)+cos^2theta(sintheta-cos^2theta)) d theta=-3/4pi $

Corretto?

[Exelion]

Grazie mille!!