Flusso ed integrali di superficie

[cooper1]

ho il seguente problema:

Siano dati il dominio $ V={(x,y,z) in RR^3: x^2+y^2<=2; 0<=z<=9-x-3y} $ e il campo vettoriale $ ul(F)(x,y,z) =(2x+y^2z,y+z,z-xy^2) $
ed S la superficie data dalla frontiera ∂V di V , orientata in modo che la normale a S sia esterna a V (cioè il verso uscente da V )

calcolare il flusso di F uscente da S;
[ii] Detta $S_0$ la parte inferiore della superficie S, calcolare il flusso di rot F attraverso
$S_0$
[iii] Detta $S_t$ la parte superiore della superficie, calcolare $ ∫_(+∂S_t) ω $ dove $ ω = xyzdx +z^2dy + 2yzdz. $
[/list:u:22vszxc3]

punto i :
ho applicato il teorema della divergenza (pari a 4). di conseguenza ho calcolato il seguente integrale:
$ 4int_E dxdydz=4int_A [int_(0)^(9-x-3y)dz]dxdy $ dove $ A:= {(x,y)in RR^2: x^2+y^2<=2} $

punto ii:
ho descritto $S_0$ come:

$ S_0:= {(x,y,z)in RR^3: z=0; x^2+y^2<=2} $

parametrizzabile come $ varphi (u,v)=(ucosv, usinv, 0) $
a questo punto calcolo rotore e normale, ne faccio il prodotto scalare e risolvo l'integrale.

punto iii:
analogamente a prima descrivo $S_t$ come $ S_t:={(x,y,z)in RR^3: z=9-x-3y, x^2+y^2<=2} $ che si parametrizza come $ varphi(u,v)=(ucosv, usinv, 9-u(cosv-3sinv)) $
ora calcolo la normale, ne faccio il prodotto scalare con il rotore di $omega$e calcolo l'integrale doppio su $x^2+y^2<=2$

è corretto il mio svolgimento?

[cooper1]

come sempre ti ringrazio per la precisissima risposta.
nel testo ho fatto un errore nel fornire il campo vettoriale F, che adesso ho corretto. la divrgenza è effettivamente 4 come avevo calcolato. detto questo i risultati mi tornano, il che mi rende felice, soprattutto nel terzo perchè non sapevo se avessi parametrizzato correttamente la superficie.
grazie ancora