Flusso e integrale curvilineo
Vi tornano i seguenti risultati?
1) $int_gamma (x(y-1))^(1/3) ds = 1/12 ( 5sqrt5-1)
sulla curva $gamma(t)=(t,1+t^2)$, $t in [0,1]$.
2) Il flusso del campo $ulF=(x,-2y,z)$ attraverso
la superficie $Sigma={(x,y,z) in RR^3:z=4x^2+y^2,0<=z<=4}$
vi torna $Phi = 240pi$ ?
Grazie.
1) $int_gamma (x(y-1))^(1/3) ds = 1/12 ( 5sqrt5-1)
sulla curva $gamma(t)=(t,1+t^2)$, $t in [0,1]$.
2) Il flusso del campo $ulF=(x,-2y,z)$ attraverso
la superficie $Sigma={(x,y,z) in RR^3:z=4x^2+y^2,0<=z<=4}$
vi torna $Phi = 240pi$ ?
Grazie.
Risposte
"Reynolds":
Vi tornano i seguenti risultati?
1) $int_gamma (x(y-1))^(1/3) ds = 1/12 ( 5sqrt5-1)
sulla curva $gamma(t)=(t,1+t^2)$, $t in [0,1]$.
2) Il flusso del campo $ulF=(x,-2y,z)$ attraverso
la superficie $Sigma={(x,y,z) in RR^3:z=4x^2+y^2,0<=z<=4}$
vi torna $Phi = 240pi$ ?
Grazie.
1)yes
Per il 2) la divergenza di $ulF$ è nulla, quindi
il flusso dovrebbe essere nullo, ma procedendo
nel modo tradizionale (ovvero facendo il prodotto
scalare di $ulF$ calcolato sui punti della superficie
con il prodotto vettoriale etc.) mi viene $240pi$...
A questo punto temo di aver sbagliato a parametrizzare la superficie...
il flusso dovrebbe essere nullo, ma procedendo
nel modo tradizionale (ovvero facendo il prodotto
scalare di $ulF$ calcolato sui punti della superficie
con il prodotto vettoriale etc.) mi viene $240pi$...
A questo punto temo di aver sbagliato a parametrizzare la superficie...
E' giusta la parametrizzazione della superficie così?
${(x(u,v)=u),(y(u,v)=v),(z(u,v)=4u^2+v^2):}
tale che $4u^2+v^2<=4$
${(x(u,v)=u),(y(u,v)=v),(z(u,v)=4u^2+v^2):}
tale che $4u^2+v^2<=4$
"Reynolds":
E' giusta la parametrizzazione della superficie così?
${(x(u,v)=u),(y(u,v)=v),(z(u,v)=4u^2+v^2):}
tale che $4u^2+v^2<=4$
io credo di sì
Attenzione: il flusso e' nullo se la divergenza e' zero vale per le superfici chiuse. Non mi pare che la superficie data sia chiusa.
Infatti non è molto chiaro... Come
si fa a capire se la superficie è aperta o chiusa?
si fa a capire se la superficie è aperta o chiusa?
Beh, molto difficilmente il grafico di una funzione e' una superficie chiusa, per definizione di funzione. Comunque una superficie e' chiusa quando non ha bordo (relativo ovviamente).
Se è una superficie aperta, come penso che sia,
mi dite se $Phi=240pi$ ? Mi sono ricondotto
al seguente integrale doppio:
$intint_({4u^2+v^2<=4}) (5v^2-4u^2) dudv
mi dite se $Phi=240pi$ ? Mi sono ricondotto
al seguente integrale doppio:
$intint_({4u^2+v^2<=4}) (5v^2-4u^2) dudv
"Luca.Lussardi":
Beh, molto difficilmente il grafico di una funzione e' una superficie chiusa, per definizione di funzione. Comunque una superficie e' chiusa quando non ha bordo (relativo ovviamente).
Chiusa quando non ha bordo? Dici sul serio?
Io sapevo che un insieme aperto fosse senza bordo...
Comunque dall'espressione della superficie $Sigma$ mi sembrava
che fosse chiusa perché pensavo che venisse chiusa dal piano $z=4$
Un aperto puo' avere bordo, caso mai non lo contiene...
Certo, non lo contiene...
Comunque alla fine ho risolto. Grazie a tutti.
Comunque alla fine ho risolto. Grazie a tutti.
"Reynolds":
Se è una superficie aperta, come penso che sia,
mi dite se $Phi=240pi$ ? Mi sono ricondotto
al seguente integrale doppio:
$intint_({4u^2+v^2<=4}) (5v^2-4u^2) dudv
io arrivo allo stesso integrale, ma poi calcolandolo mi viene nullo... e forse si può vedere anche per simmetria... o sbaglio?
ah... poi mi è venuta in mente questa cosa... per calcolare il flusso si poteva "tappare" la superficie, con un piano, vedere il flusso totale su questa superficie, che è chiusa (ovvero l'integrale della divergenza sul volume per gauss, ma la divergenza è costante (perchè hai detto che è nulla tanti post sopra, Reynolds? )e quindi ci si riduce a calcolare un volume), poi calcolare il flusso sul piano tappato (ove la normale è gratuita) e fare la differenza...
io prima avevo fatto i calcoli normalmente...
io prima avevo fatto i calcoli normalmente...
Alla fine il testo non dice che la superficie
è chiusa dal piano $z=4$, quindi è una superficie
aperta e quello che si deve calcolare è l'integrale doppio
che ho postato e hai citato anche tu.
Provo a ricalcolarlo...
è chiusa dal piano $z=4$, quindi è una superficie
aperta e quello che si deve calcolare è l'integrale doppio
che ho postato e hai citato anche tu.
Provo a ricalcolarlo...
Avevo sbagliato a passare a coordinate ellittiche,
il risultato corretto del flusso è $Phi = 8pi$.
il risultato corretto del flusso è $Phi = 8pi$.
Adesso vi dovrebbe tornare...
no intendevo dire che se calcoli il flusso sulla superficie chiusa (a meno di costanti il volume) e poi togli a questo il flusso sul tappo (da calcolare), ottieni il flusso sulla superficie rimanente, che è quello che chiede il problema... (i calcoli alla fine saranno uguali, ma almeno non ci sono normali strane da calcolare)
cmq a me quell'integrale veniva nullo... non è che posti i calcoli?
cmq a me quell'integrale veniva nullo... non è che posti i calcoli?
Come fa a venirti nullo? Passiamo a coordinate ellittiche:
$int_({u^2+v^2/4<=1}) (5v^2-4u^2) dudv = int_([0,1]xx[0,2pi]) (20rho^2sin^2theta-4rho^2cos^2theta)2rhodrhod theta=int_0^1 drho (int_0^(2pi) (40rho^3sin^2theta-8rho^3cos^2theta) d theta)
a questo punto ho fatto calcolare quest'integrale a Derive e il tutto viene $8pi$.
$int_({u^2+v^2/4<=1}) (5v^2-4u^2) dudv = int_([0,1]xx[0,2pi]) (20rho^2sin^2theta-4rho^2cos^2theta)2rhodrhod theta=int_0^1 drho (int_0^(2pi) (40rho^3sin^2theta-8rho^3cos^2theta) d theta)
a questo punto ho fatto calcolare quest'integrale a Derive e il tutto viene $8pi$.
ok... torna, anche il numero... it's all right! 
... cmq anche tu per calcolare il versore normale sei passato attraverso il piano tangente alla superficie?
... cmq anche tu per calcolare il versore normale sei passato attraverso il piano tangente alla superficie?
No, ho fatto il prodotto vettoriale dei vettori derivati
e l'ho moltiplicato scalarmente per il campo F
(calcolato sui punti della superficie).
e l'ho moltiplicato scalarmente per il campo F
(calcolato sui punti della superficie).
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