Flusso di una superficie laterale di un tronco di cono

[elpocholoco-votailprof]

Calcolare il flusso del campo vettoriale

$ w(x,y,z)= i - yj + k

uscente dalla superficie chiusa, unione di quella di equazione $z=sqrt(x^2+y^2)$ con $2<=z<=4$ e dei cerchi di centro $(0,0,2)$ e raggio $2$ contenuto nel piano $z=2$ e di centro $(0,0,4)$ e raggio 4 contenuto nel piano $z=4$.


La superficie data è l'unione di 3 superfici che rappresentano le pareti di un solido di $R^3$. Il solido è un tronco di cono. Pertanto ho considerato il flusso come la somma di 3 valori:
- il flusso attraaverso le 2 basi, una superiore e l'altra superiore;
- la superficie laterale chiusa.

Ora ho determinato il flusso per le 2 basi, ma ho una difficoltà nel determinare il flusso attraverso la superficie laterale del tronco di cono.

Scrivo le equazioni parametriche:


$\{(x=u),(y=v),(z=sqrt(u^2+v^2)):}$


Matrice Jacobiana:

$[[1,0,u/(sqrt(u^2+v^2))],[0,1,v/(sqrt(u^2+v^2))]]$

i 3 minori presi con segni alterni $(+,-,+)$ sono:

$J1=-u/(sqrt(u^2+v^2))$, $J2=-v/(sqrt(u^2+v^2))$, $J3=1$

Eseguo il prodotto scalare, campo vettoriale $w$ * i 3 minori (J1, J2, J3):

$(-u/(sqrt(u^2+v^2))) + v^2/(sqrt(u^2+v^2)) +1)$

Per determinare il flusso bisogna calcolare un integrale doppio esteso al dominio di sostegno:

$\int int(-u/(sqrt(u^2+v^2))) + v^2/(sqrt(u^2+v^2)) +1) du dv$


A questo punto non so determinare il dominio di sostegno, si tratterebbe di una corona circolare dove il cerchio interno ha raggio 2 e quello esterno raggio 4.
Credo che l'impostazione generale del problema sia corretta.

Aspetto un vostro aiuto!


Grazie e Buona Domenica

[stefano_89]

si l' impostazione mi pare corretta, per quanto riguarda la coronaè molto semplice. Passi alle polari, e poni: $0 < \theta < 2\pi, 2 < \rho < 4$. Perchè devi fare un giro completo, mentre $\rho$ ti dà il raggio dei cerchi.