Flusso di un vettore attraverso una superficie

[marthy_92]

Ciao a tutti ! Ho dei problemi con questo esercizio. E' richiesto di svolgerlo con due metodi ma i risultati
che vengono fuori non coincidono.


Sia $ F:RR^3--> RR^3 $ il campo vettoriale così definito

$ F(x,y,z)=(4x,4y,4z) $

e sia $ S= {(x,y,z)inRR^3:x^2+y^2+z^2=1} $ la superficie sferica di centro l'origine e raggio 1.
Calcolare il flusso uscente di $ F $ attraverso $ S $ mediante il teorema della divergenza. Verificare poi il risultato ottenuto
calcolando direttamente il flusso.


Ho scritto la superficie in forma parametrica

$ varphi(u,v) { ( x=sinucosv ),( y=sinusinv ),( z=cosu ):} , (u,v)in[0,pi]xx [0,2pi] $

Quindi poi ho verificato che la parametrizzazione scelta orienta i versori nel verso uscente e quindi va bene.
Poi ho applicato il teorema della divergenza. Devo quindi calcolare

$ int int int_(T)^()divF(x,y,z) dx dy dz = int int int_(T)^() 4+4+4dxdydz $

$ 12 int int int_(T)^()dxdydz $

Ora l'ultimo integrale sarebbe il volume della sfera giusto? Quindi il risultato finale dovrebbe essere

$ 12*((4pi)/3)= 16 pi $

Poi ho effettuato il calcolo diretto appliando la formula

$ int int_(D)^() dudv $

ove $ D= [0,pi]xx[0,2pi] $

e $ (partialvarphi)/(partialu)^^ (partialvarphi)/(partialu) = (sin^2ucosv,sin^2usinv,cosusinu) $

Quindi ho riscritto l'integrale come

$ int int_(D)^() 4sin^3ucos^2v+4sin^3usin^2v+4cos^2usinu dudv = int int_(D)^()4sinududv $

$ int_(0) ^(pi) duint_(0) ^(2pi)4sinu dv = 8 pi $

perchè non coincidono i due risultati? dove sbaglio? Grazie

[marthy_92]

Grazie mille TeM Immaginavo ci fosse un errore di calcolo, eppure avevo controllato 100 volte XD