Flusso di un campo vettoriale
Salve, ho svolto il seguente esercizio ma non avendo la soluzione vorrei sapere se è corretto sia dal punto di vista del procedimento che dei calcoli:
Facendo un grafico della superficie S noto che è una sfera ''tagliata'', cioè posso considerare la superficie in questione come:
$S=S_B uu S_1$ dove
$S_1={(x,y,z) in R^3 t.c. x^2+y^2+(z-R/2)^2<=R^2, z>0}$
$S_B={(x,y,z) in R^3 t.c. x^2+y^2<=3/4R^2, z=0}$
così da applicare il teorema della divergenza, considerando E il volume che ha come bordo S,
$E={(x,y,z) in R^3 t.c. x^2+y^2+(z-R/2)^2<=R^2, z>=0}$
$ int int int_(E) Div f dx dy dz = int_(S_1) f\cdot N dx dy dz + int_(S_B) f\cdot N dx dy dz $
$DivF=0$ perciò mi basta calcolare il flusso attraverso la superficie di base
Parametrizzo la superficie e calcolo la normale:
$ { ( x=rhocostheta ),( y=rhosentheta ),( z=0 ):} $
$J= ( ( costheta , sentheta , 0 ),( -rhosentheta , rhocostheta , 0) ) $
$N=(0,0,rho)$
Dato che la normale è diretta verso l'alto e il teorema della divergenza mi dà il flusso uscente cambierò segno e avrò proprio:
$ int_(S_1) f\cdot N dx dy dz = int_(S_B) f\cdot N dx dy dz = 2piint_(0)^(sqrt(3/4)R) rho^3drho =9/32R^4 $
Il dubbio è: quando il volume calcolato con la divergenza corrisponde proprio con il flusso? Avevo capito che è vero quando la superficie è ''un tutt'tuno'', cioè quando devo calcolare il flusso attraverso un'ellisse, una sfera ecc. Ma quando la superficie è costituita da più pezzi è giusto fare questo ragionamento?
Poi, l'esercizio continua con un secondo punto che non riesco ad impostare, è il seguente:
Come posso svolgerlo?
Facendo un grafico della superficie S noto che è una sfera ''tagliata'', cioè posso considerare la superficie in questione come:
$S=S_B uu S_1$ dove
$S_1={(x,y,z) in R^3 t.c. x^2+y^2+(z-R/2)^2<=R^2, z>0}$
$S_B={(x,y,z) in R^3 t.c. x^2+y^2<=3/4R^2, z=0}$
così da applicare il teorema della divergenza, considerando E il volume che ha come bordo S,
$E={(x,y,z) in R^3 t.c. x^2+y^2+(z-R/2)^2<=R^2, z>=0}$
$ int int int_(E) Div f dx dy dz = int_(S_1) f\cdot N dx dy dz + int_(S_B) f\cdot N dx dy dz $
$DivF=0$ perciò mi basta calcolare il flusso attraverso la superficie di base
Parametrizzo la superficie e calcolo la normale:
$ { ( x=rhocostheta ),( y=rhosentheta ),( z=0 ):} $
$J= ( ( costheta , sentheta , 0 ),( -rhosentheta , rhocostheta , 0) ) $
$N=(0,0,rho)$
Dato che la normale è diretta verso l'alto e il teorema della divergenza mi dà il flusso uscente cambierò segno e avrò proprio:
$ int_(S_1) f\cdot N dx dy dz = int_(S_B) f\cdot N dx dy dz = 2piint_(0)^(sqrt(3/4)R) rho^3drho =9/32R^4 $
Il dubbio è: quando il volume calcolato con la divergenza corrisponde proprio con il flusso? Avevo capito che è vero quando la superficie è ''un tutt'tuno'', cioè quando devo calcolare il flusso attraverso un'ellisse, una sfera ecc. Ma quando la superficie è costituita da più pezzi è giusto fare questo ragionamento?
Poi, l'esercizio continua con un secondo punto che non riesco ad impostare, è il seguente:
Come posso svolgerlo?
Risposte
Rispondo per la seconda domanda: io integrerei prima rispetto a $y$ in quanto la funzione integranda sembra più abbordabile così.
Perciò ci apprestiamo a scrivere il dominio $D$ come insieme normale rispetto all'asse $x$: dopo varie intersezioni, dovresti trovare che $x\in[0,1]$ e $y\in[x-3,-2sqrtx]$. Ti torna?
In tal caso avrai
$$\iint_D \frac{\sqrt{x}}{1+x-y}dxdy=\int_0^1 \left(\int_{x-3}^{-2\sqrt{x}} \frac{\sqrt{x}}{1+x-y}dy \right)dx=\int_0^1 \sqrt{x} \left[- \ln(1+x-y) \right]_{y=x-3}^{y=-2\sqrt{x}}dx=$$
$$=\int_0^1 \sqrt{x} \left[-\ln (1+x+2\sqrt{x}) + \ln(4)\right]dx$$
E ora procedi a calcolare quest'ultimo (un po' noioso) integrale singolo.
Non prendere ciò che ho scritto per sicuro in quanto sto studiando anche io queste cose, però dovrebbe essere sensato; aspetta pareri più esperti per avere certezze!
Perciò ci apprestiamo a scrivere il dominio $D$ come insieme normale rispetto all'asse $x$: dopo varie intersezioni, dovresti trovare che $x\in[0,1]$ e $y\in[x-3,-2sqrtx]$. Ti torna?
In tal caso avrai
$$\iint_D \frac{\sqrt{x}}{1+x-y}dxdy=\int_0^1 \left(\int_{x-3}^{-2\sqrt{x}} \frac{\sqrt{x}}{1+x-y}dy \right)dx=\int_0^1 \sqrt{x} \left[- \ln(1+x-y) \right]_{y=x-3}^{y=-2\sqrt{x}}dx=$$
$$=\int_0^1 \sqrt{x} \left[-\ln (1+x+2\sqrt{x}) + \ln(4)\right]dx$$
E ora procedi a calcolare quest'ultimo (un po' noioso) integrale singolo.
Non prendere ciò che ho scritto per sicuro in quanto sto studiando anche io queste cose, però dovrebbe essere sensato; aspetta pareri più esperti per avere certezze!
Ciao Mephlip, grazie per la risposta. Per quanto riguarda $D$ avevo pensato, data la presenza nell'integrale di $sqrtx$ e $x-y$, di parametrizzare il dominio con qualcosa cosa come $v=sqrtx$ e $u=x-y$ valutando poi il determinante jacobiano ma non so gestire le limitazioni, infatti non ho capito come hai ottenuto $ y\in[x-3,-2sqrtx] $ e $ x\in[0,1] $..
Non ti torna perché sono un rincoglionito 
avevo risolto male $x>=\frac{y^2}{4}$.
Il ragionamento è lo stesso di prima in realtà, il tuo dominio deve essere compreso tra le rette $y=x-3$ e $y=1-x$, poi deve anche risultare $y\leq0$ e infine (risolvendo correttamente) deve valere $-2\sqrt{x}\leqy\leq2\sqrt{x}$.
Fatto ciò, se ti tracci un grafico si nota abbastanza facilmente che $x\in[0,2]$, in quanto $x>=\frac{y^2}{4}$ ti suggerisce che $x\geq0$ e inoltre intersecando $y=x-3$ con $y=1-x$ trovi che $x=2$; da notare che c'è un punto in cui si scindono gli estremi riguardo $y$, questo punto è $x=1$ e lo trovi intersecando $x=\frac{y^2}{4}$ e $y=x-3$.
Perciò scritto come insieme normale rispetto all'asse $x$ si può integrare così
$$\iint_D \frac{\sqrt{x}}{1+x-y}dxdy=\int_0^1 \left(\int_{-2\sqrt{x}}^0 \frac{\sqrt{x}}{1+x-y} dy \right)dx +\int_1^2 \left(\int_{x-3}^{1-x} \frac{\sqrt{x}}{1+x-y} dy \right)dx$$
Per quanto riguarda quello che hai detto tu (riguardo alla sostituzione) non ci ho provato, forse potrebbe semplificare il calcolo degli intervalli di integrazione ma non so quanto effettivamente funzioni.
avevo risolto male $x>=\frac{y^2}{4}$.Il ragionamento è lo stesso di prima in realtà, il tuo dominio deve essere compreso tra le rette $y=x-3$ e $y=1-x$, poi deve anche risultare $y\leq0$ e infine (risolvendo correttamente) deve valere $-2\sqrt{x}\leqy\leq2\sqrt{x}$.
Fatto ciò, se ti tracci un grafico si nota abbastanza facilmente che $x\in[0,2]$, in quanto $x>=\frac{y^2}{4}$ ti suggerisce che $x\geq0$ e inoltre intersecando $y=x-3$ con $y=1-x$ trovi che $x=2$; da notare che c'è un punto in cui si scindono gli estremi riguardo $y$, questo punto è $x=1$ e lo trovi intersecando $x=\frac{y^2}{4}$ e $y=x-3$.
Perciò scritto come insieme normale rispetto all'asse $x$ si può integrare così
$$\iint_D \frac{\sqrt{x}}{1+x-y}dxdy=\int_0^1 \left(\int_{-2\sqrt{x}}^0 \frac{\sqrt{x}}{1+x-y} dy \right)dx +\int_1^2 \left(\int_{x-3}^{1-x} \frac{\sqrt{x}}{1+x-y} dy \right)dx$$
Per quanto riguarda quello che hai detto tu (riguardo alla sostituzione) non ci ho provato, forse potrebbe semplificare il calcolo degli intervalli di integrazione ma non so quanto effettivamente funzioni.
Ok grazie mille, ora mi è chiaro. Qualcuno può aiutarmi per il primo punto per favore?
sono parecchio arrugginito su queste cose, ma secondo me tu hai calcolato il flusso della superficie $S_B$ e della superficie $S_1$, non quello di $S$. il teorema della divergenza ti dice che volendo puoi rimpiazzare il calcolo del flusso con il calcolo dell'integrale di volume della divergenza esteso al volume racchiuso dalla superficie. ovvero vale l'uguaglianza
nel nostro caso quindi avremmo $Phi_S(f)=intintint_E 0 dxdydz =0$ quindi il flusso attraverso S è nullo.
$Phi_S(F)=intint_S vecF * hatn dS = intintint_E \text{div}vecF dE$
nel nostro caso quindi avremmo $Phi_S(f)=intintint_E 0 dxdydz =0$ quindi il flusso attraverso S è nullo.
Avevo pensato ad una cosa del genere, infatti adesso ho notato che il grafico richiesto è
$S=S_0nn{z>=0}$
La differenza con ques'altro caso: teorema-divergenza-t71868.html
Forse è proprio questo, nell'esercizio ho una superficie chiusa, che delimita completamente il volume su cui valuto la divergenza, proprio perchè è l'intersezione, cioè è la sfera tagliata ma ''piena'', nel caso del link ho l'equazione $x^2 + y^2 +z^2 = R^2$ con la delimitazione indicata, per cui la devo andare a chiudere.
Oppure anche in quest'altro caso la separazione tra le due superfici è necessaria: calcolo-del-flusso-quando-la-divergenza-e-uguale-a-0-t73875.html
Cioè la spiegazione che ho ricavato è che se mi viene data l'equazione della superficie $S$ del tipo $z=g(x,y)$ con poi delle limitazioni per $x$ e $y$ allora poi gli altri ''pezzi'' li devo aggiungere, mentre se la superficie è tale da delimitare in un tutt'uno il volume allora calcolo direttamente la divergenza; spero che quello che ho scritto ha senso. Comunque, tralasciando un attimo il contesto, dal punto di vista dei calcoli e considerando la sfera definita in quel modo, ho impostato bene l'integrale (anche se non è servito a niente)?
Sarebbe quando arrivo a questo passaggio:
$ int_(S_1) f\cdot N dx dy dz = int_(S_B) f\cdot N dx dy dz = 2piint_(0)^(sqrt(3/4)R) rho^3drho =9/32R^4 $
$S=S_0nn{z>=0}$
La differenza con ques'altro caso: teorema-divergenza-t71868.html
Forse è proprio questo, nell'esercizio ho una superficie chiusa, che delimita completamente il volume su cui valuto la divergenza, proprio perchè è l'intersezione, cioè è la sfera tagliata ma ''piena'', nel caso del link ho l'equazione $x^2 + y^2 +z^2 = R^2$ con la delimitazione indicata, per cui la devo andare a chiudere.
Oppure anche in quest'altro caso la separazione tra le due superfici è necessaria: calcolo-del-flusso-quando-la-divergenza-e-uguale-a-0-t73875.html
Cioè la spiegazione che ho ricavato è che se mi viene data l'equazione della superficie $S$ del tipo $z=g(x,y)$ con poi delle limitazioni per $x$ e $y$ allora poi gli altri ''pezzi'' li devo aggiungere, mentre se la superficie è tale da delimitare in un tutt'uno il volume allora calcolo direttamente la divergenza; spero che quello che ho scritto ha senso. Comunque, tralasciando un attimo il contesto, dal punto di vista dei calcoli e considerando la sfera definita in quel modo, ho impostato bene l'integrale (anche se non è servito a niente)?
Sarebbe quando arrivo a questo passaggio:
$ int_(S_1) f\cdot N dx dy dz = int_(S_B) f\cdot N dx dy dz = 2piint_(0)^(sqrt(3/4)R) rho^3drho =9/32R^4 $
alla luce dei nuovi fatti (grazie per il ripasso) direi che come hai fatto all'inizio va bene. non abbiamo un volume che racchiude una superficie chiusa "intera". l'integrale che hai impostato è dunque corretto ma mi sembra ti sia persa per strada un $pi$ nella soluzione
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